Fiche de cours

Variable aléatoire et loi de probabilité

Lycée > Premiere, Premiere techno > Mathématiques > Variable aléatoire et loi de probabilité

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.
Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.

Points clés

X est une variable définie sur Ω, l’univers de l’expérience aléatoire, et a est un réel. On note X = a l’ensemble des issues auxquelles on associe le nombre a.
P(X = a) est la somme des probabilités des issues auxquelles on associe le nombre a.
La loi de probabilité est l’ensemble des valeurs que peut prendre X auxquelles on associe leur probabilité.

Pour bien comprendre

Calculer une probabilité dans un univers équiprobable
Évènements contraires

1. Rappels sur les expériences aléatoires

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon certaine mais dont on connait les résultats possibles (les issues).
L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est l’univers de l’expérience. On le note Ω.
Un événement est une partie de l’univers, formée d’une ou de plusieurs issues possibles.

Exemple
Nous plaçons 6 boules indiscernables dans une urne. Parmi elles, il y a : une boule rouge, 2 boules bleues et 3 boules noires.
On tire une boule au hasard dans cette urne. C’est une expérience aléatoire.

L'univers de cette expérience est : Ω = {rouge, bleue, noire}.
Cet univers est constitué de trois événements élémentaires :

R : l’événement « Tirer une boule rouge » ;
B : l’événement « Tirer une boule bleue » ;
N : l’événement « Tirer une boule noire ».

Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité : chaque boule a une chance sur 6 d’être tirée.
Comme il y a une seule boule rouge, alors P(R) =

.
Comme il y 2 boules bleues, alors P(B) = 2 ×

.
Comme il y 3 boules noires, alors P(N) = 3 ×

2. Variable aléatoire et événements associés

a. Notion de variable aléatoire

Maintenant, intéressons-nous aux conséquences du tirage :

Si la boule tirée est rouge, nous gagnons 3 €.
Si la boule tirée est bleue, nous gagnons 2 €.
Si la boule tirée est noire, nous gagnons 1 €.

Dans cette expérience, on voit bien que ce qui importe n'est pas vraiment la couleur tirée mais plutôt le gain qui lui est associé.

Nous allons introduire la notion de variable aléatoire. Nous allons simplement convenir que le gain que l'on associe à un tirage se note X.

Si la boule tirée est rouge, X = 3 €.
Si la boule tirée est bleue, X = 2 €.
Si la boule tirée est noire, X = 1 €.

Considérons une expérience aléatoire dont l’univers (l’ensemble de toutes les issues) est Ω.

Une variable aléatoire X sur Ω est une fonction qui, à chaque issue de Ω, associe un nombre réel.

b. Événements associés à une variable aléatoire

Soit a l’une des valeurs prise par la variable aléatoire X (a est un nombre réel).

{X = a} est l’événement qui comprend toutes les issues auxquelles on a associé le nombre a. C’est l’ensemble des issues auxquelles on associe le nombre a.

Exemple
Dans notre expérience, on écrit {X = 3} pour signifier que nous nous intéressons aux cas où le gain est égal à 3 €. {X = 3} correspond à l’événement R : « Tirer une boule rouge ».
De la même façon {X = 2} correspond aux cas où le gain est égal à 2 €, c’est à dire à l’évènement B : « Tirer une boule bleue ».
Enfin, {X = 1} correspond aux cas où le gain est égal à 1 €, c’est à dire à l’évènement N : « Tirer une boule noire ».

On peut de la même manière définir l’événement {X < a}.

L’événement {X < a} est l’ensemble des issues auxquelles on associe un nombre < a.

Exemple
Dans notre expérience, l’événement {X < 3} correspond aux cas où le gain est inférieur à 3 €.

3. Loi de probabilité

a. Probabilité d'un événement

Dans une expérience aléatoire, soit Ω l’univers, X une variable définie sur Ω et a un nombre réel.

P(X = a) est la probabilité de réaliser l’événement {X = a} .

Exemple
Revenons à notre expérience.
On considère l’événement {X = 3} qui correspond à l’événement R : « Tirer une boule rouge » (et gagner 3 euros).
P{X = 3} est la probabilité de réaliser cet événement.
P({X = 3}) = P(R) =

b. Loi de probabilité

Dans une expérience aléatoire, soit Ω l’univers, X une variable définie sur Ω et a₁ ; a₂ ; … ; a_n des nombres réels qui représentent toutes les valeurs prises par X.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X est l’ensemble des probabilités de tous les événements « X = a_i » c’est à dire P(X = a_i).

Méthode pour déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.

Associer à chaque événement un nombre réel ;
Calculer les probabilités de tous les événements « X = a_i » ;
Résumer tous les résultats trouvés dans un tableau.

Exemple
La variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2 et 3.

L’événement {X = 3} correspond à l’événement R : « Tirer une boule rouge ».
P({X = 3}) = P(R) =

L’événement {X = 2} correspond à l’événement B : « Tirer une boule bleue ».
P({X = 2}) = P(B) = 2 ×

L’événement {X = 1} correspond à l’événement N : « Tirer une boule noire ».
P({X = 1}) = P(N) = 3 ×

La loi de probabilité que suit X est la suivante :
P(X = 1) =

P(X = 2) =

P(X = 3) =

Nous la notons généralement sous forme de tableau pour plus de visibilité.

*a_i*	1	2	3
*P(X = a_i)*

Évalue ce cours !

Note 3.2 / 5. Nombre de vote(s) : 39

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT