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Variable aléatoire et loi(0,1) de Bernoulli

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Objectif

Reconnaitre une situation aléatoire modélisée par une loi de Bernoulli.

Points clés

Une épreuve de Bernoulli est une expérience admettant exactement deux issues. Ces deux issues sont donc contraires l'une de l'autre. On appelle communément les deux issues de probabilité :
- « succès » notée p ;
- « échec » notée q = 1 – p.

Étant donné une épreuve de Bernoulli, considérons la variable aléatoire X prenant comme valeur 1 quand le succès est réalisé, ou prenant comme valeur 0 quand l'échec est réalisé.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli, on dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès.
L'espérance d'une loi de Bernoulli est égale à p.
On appelle schéma de Bernoulli à n épreuves de paramètre p, la répétition n fois de suite avec indépendance de la même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

1. Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience admettant exactement deux issues. Ces deux issues sont donc contraires l'une de l'autre.
On appelle communément les deux issues de probabilité :

« succès » notée p ;
« échec » notée q = 1 – p.

Étant donné une épreuve de Bernoulli, considérons la variable aléatoire X prenant comme valeur 1 quand le succès est réalisé, ou prenant comme valeur 0 quand l'échec est réalisé.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli, on dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès.

Exemple
On lance un dé cubique classique.
On s'intéresse à l'événement « le numéro tiré est un 6 ».
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le numéro est un 6 » de probabilité

. La variable de Bernoulli associée est une variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le 6 est sorti, ou qui prend la valeur 0 si c'est un autre numéro qui sort.

2. Espérance d'une loi de Bernoulli

On considère une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
Alors : .

L'espérance d'une loi de Bernoulli est égale à p.

3. Schéma de Bernoulli

Considérons une épreuve de Bernoulli où p désigne la probabilité du « succès » et n un entier naturel non nul.

On appelle schéma de Bernoulli à n épreuves de paramètre p, la répétition n fois de suite avec indépendance de la même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Exemple
En revenant à l'exemple précédent : on lance 3 fois de suite un dé, à chaque fois on réalise ou non « le numéro tiré est un 6 ». Cela constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p =

Attention : il s'agit de s'assurer que la répétition de l'épreuve de Bernoulli s'effectue bien avec indépendance.

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