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Variable aléaoire discrète (loi de probabilités et calcul de ses paramètres)

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Objectifs :

Savoir modéliser une expérience aléatoire par une variable aléatoire et l'étudier quantitativement.

1. Variable aléatoire et loi de probabilité

a. Mise en situtation

On lance un dé cubique coloré à 6 faces bien équilibré. Il possède : une face rouge, 2 faces bleues et 3 faces noires.
Si la couleur tirée est rouge, on gagne 3 €.
Si la couleur tirée est bleue, on gagne 2 €.
Si on tire une face noire, on doit payer 1 €.

Dans cette expérience, on voit bien que ce qui importe n'est pas vraiment la couleur tirée mais plutôt le gain (ou la perte) qui lui est associé. A chaque événement élémentaire de notre expérience aléatoire, on va associer un réel représentant le gain "algébrique". Quand on parle de gain algébrique, cela signifie que celui-ci peut être négatif, représentant alors une perte. C'est ainsi que la perte de 1 euros sera représentée par le gain algébrique : - 1euro !

Revenons à l'expérience de base. L'univers est :

.
Cet univers est composé de 3 événements élémentaires dont les probabilités sont :

;

.

Jusqu'à maintenant, il n'y a rien de nouveau par rapport à la seconde.
Nous allons maintenant introduire la notion de variable aléatoire. Nous allons simplement convenir que le gain algébrique que l'on associe à un tirage se note X.

C'est tout naturellement que nous allons écrire "X = 2" pour signifier que nous nous intéressons aux cas où le gain est égal à 2 €.
C'est d'ailleurs tout aussi naturellement que nous écrivons que

.
De la même manière :

.
X, c'est-à-dire ici le gain algébrique, est appelée "variable aléatoire" ; quand on donne les probabilités associées à chacune des valeurs de X comme ci-dessus, on dit qu'on a défini sa loi de probabilité.

b. Les définitions

On considère une expérience aléatoire dont l'univers est

Lorsqu'à chaque événement élémentaire de

on associe un nombre réel, on définit une variable aléatoire.

Une variable aléatoire se note généralement par une lettre majuscule (X, Y ou Z etc...).

L'ensemble des valeurs réelles que peut prendre une variable aléatoire X sur

se note

.

Avec notre exemple précédent, on a :

Lorsqu'on associe une probabilité à chaque valeur prise par une variable aléatoire, on définit sa loi de probabilité.

Remarque importante
Les valeurs prises par une variable aléatoire X sont des réels que l'on peut noter

si la variable aléatoire prend n valeurs. Ainsi, définir la loi de probabilité de X, c'est donner les valeurs de

.

Pour vérifier que l'on a ainsi défini une loi de probabilité, on s'assure que l'on a bien :
.

Il arrive souvent que l'on regroupe les résultats dans un tableau.
Avec notre exemple du début, cela donne :

x_i	-1	2	3
p(X=x_i)	1/2	1/3	1/6

2. Les paramètres

a. Espérance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire X, notée

, est la moyenne de ses valeurs pondérées par les probabilités associées, c'est à dire:

On note aussi plus "schématiquement" :

.

Avec notre exemple du début :

.
"En moyenne", sur une partie, le joueur peut espérer gagner environ 66 centimes d'euros. Plus il fera de parties, plus son gain moyen se rapprochera de ce nombre.

Remarque
Dans un jeu "d'argent", quand l'espérance est positive pour le joueur, le jeu est favorable au joueur, si l'espérance est nulle, le jeu est équitable.

La variance est le réel positif noté

défini par :

La variance mesure l'espérance des écarts au carré à l'espérance.

On peut remplacer cette phrase compliquée par la formule suivante:

.

Cette autre formule de la variance, compliquée elle aussi, n'est pas celle utilisée dans les applications numériques. Nous verrons une simplification de la formule dans la partie suivante.

L'écart type

d'une variable aléatoire est la racine carrée de sa variance:

L'écart type et l'espérance portent l'unité de la variable aléatoire si celle-ci en possède une.

b. La formule de König Huyghens ou simplification de la variance

La propriété de König-Huyghens ou la simplification de la variance :
.

(ou encore: la variance correspond à l'espérance du carré de la variable moins le carré de l'espérance)

Application à notre exemple:

On peut donc maintenant calculer l'écart type :

.

L'écart type sert à mesurer la dispersion des valeurs que prend la variable aléatoire autour de l'espérance (la moyenne). Pour la plupart des cas, le nombre de valeurs est assez petit, et le calcul de l'écart type ne sert pas à grand chose car son interprétation n'est pas aisée.

c. Propriétés

Considérons une variable aléatoire X . a et b étant deux réels donnés, on peut définir une nouvelle variable aléatoire Y telle que

.
Alors dans ce cas on a :

Exemple
On reprend notre jeu avec le dé coloré. On décide de tripler tous les gains algébriques et de faire payer une mise de 2 euros. On définit ainsi une nouvelle variable aléatoire Y telle que

.

L'espérance de ce nouveau jeu est égale à :

Le jeu est devenu équitable !
On a aussi :

(€).

L'essentiel

Si X est une variable aléatoire :

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