Utiliser les torseurs

En mécanique du solide indéformable, le torseur permet de simplifier la résolution de nombreux problèmes, dans un plan (2D) comme dans l’espace (3D). C’est le cas des problèmes liés à la transmission d’actions mécaniques, au déplacement, à la vitesse ou à l’accélération d’un solide.

Voici la forme générale d’un torseur, exprimé au point A.

Un torseur est composé de deux vecteurs. Un vecteur  qui s’appelle la résultante. Un vecteur  qui s’appelle le moment.

Exemple
Soit une voiture qui est en contact avec le sol en A.

On peut modéliser par un torseur la manière dont le sol transmet un effort mécanique (par résistance à l’enfoncement) à la voiture.
On utilise pour cela le torseur suivant.

Si on change le point du torseur, en B par exemple, le nouveau torseur est le suivant.

Dans les deux cas, la résultante est identique, par contre le moment change, d’où le « /B » au lieu du « /A » en indice du moment, pour indiquer ce changement.

Comme les deux éléments qui composent le torseur sont des vecteurs, on peut aussi écrire un torseur sous sa forme décomposée.

avec :  la résultante du torseur. X, Y et Z sont ses composantes sur les axes ,  et .  le moment en A du torseur. L, M et N sont ses composantes autour des axes  ,  et .

Un torseur glisseur est produit par une action mécanique qui « pousse » ou « tire » le solide qui la subit.

Un torseur couple est produit par une action mécanique qui ne tend qu’à mettre en rotation le solide qui la subit.

Il suffit alors d’additionner leurs composantes une à une.

Exemple
Soit les deux torseurs suivants, exprimés en A.

Le produit vectoriel est un opérateur mathématique qui permet de multiplier deux vecteurs. Il se note .

Il est nécessaire de savoir s’en servir lorsque l’on manipule des torseurs.

Voici un schéma pour se rappeler plus facilement quelles composantes multiplier/soustraire ensemble.

Exemple
Soient les deux vecteurs et , leur produit vectoriel vaut :

Il est souvent nécessaire de changer le point par rapport auquel un torseur est écrit. C’est notamment le cas lorsqu’on doit additionner des torseurs qui sont au départ exprimés par rapport à des points différents.

La relation de Varignon s’exprime de la manière suivante.

avec :  est le moment en B, du nouveau torseur qu’on a déplacé  est le moment en A, du torseur d’origine qu’on déplace  est le vecteur qui va du point B au point A  est la résultante du torseur qu’on déplace

Un problème qui se sert des torseurs part toujours d’une égalité.
On essaie dans un premier temps de simplifier au maximum les deux membres de cette égalité, afin d’obtenir ensuite une série d’équations qu’on résoudra.

Exemple
Le PFS, principe fondamental de la statique, dit par exemple que la somme des torseurs des actions mécaniques d’un système statique est égale au torseur nul.

Cela donne l’égalité, , qui peut servir de point de départ à la résolution d’un problème de statique. En sommant tous les torseurs du membre de gauche, on pourra obtenir une série d’équations à résoudre.

Voici les étapes à suivre pour résoudre un problème avec les torseurs, en partant d’une égalité entre les torseurs.

On choisit un point. On déplace ensuite tous les torseurs pour qu’ils soient exprimés en ce point grâce à la relation de Varignon.

On simplifie au maximum les deux membres de l’égalité. Cela revient souvent à additionner tous les torseurs de chaque côté de l’égalité.

On extrait de l’égalité un système d’équations. On se retrouve avec un système d’au maximum 6 équations : une par composante des torseurs.

On résout les équations afin de déterminer les valeurs de toutes les inconnues.

On écrit les torseurs en remplaçant les inconnues par leurs valeurs.

On souhaite résoudre un problème qui implique les trois torseurs suivants.

On connait la plupart de leurs composantes.

Les résultantes  et  comportent des inconnues : a, b et c. La résolution du problème consiste à déterminer les valeurs de ces inconnues. Les torseurs de ce problème sont liés par l’égalité :

On donne également les valeurs des vecteurs qui relient les points A, B et C.

On choisit un point parmi les trois qu’on connait (A, B et C) pour exprimer les trois torseurs. On choisit ici le point A, mais on pourrait aussi bien résoudre le problème avec les deux autres points.

Écriture du torseur T_F en A

Ce torseur est déjà écrit en A, il n’y a donc pas de transformation à faire.
Le torseur T_F au point A est 

Écriture du torseur T_G en A

Comme on ne connait que l’écriture du torseur en B, on se sert de la relation de Varignon pour déplacer le moment en A.

Le torseur T_G au point A est .

Écriture du torseur T_H en A

Comme on ne connait que l’écriture du torseur en C, on se sert de la relation de Varignon pour déplacer le moment en A.

Le torseur T_H au point A est 

L’équation de départ est .

On additionne les trois torseurs à gauche de l’équation.

L’équation de départ, , devient : 

Ce qui donne le système de trois équations suivant.

• L’équation (Y) donne immédiatement c = –4
• L’équation (X) peut s’écrire a = –1 – b
• On injecte la valeur de c et l’expression de a dans (N) :
  5 × (–1 – b) + 4 × (–4) – 2b = 0
  –5 – 5b – 16 – 2b = 0
  –7b – 21 = 0
  –7b = 21
  On obtient finalement b = –3.
• En reprenant l’équation (X), on a a = –1 – (–3), soit a = 2.

On remplace a, b et c par leurs valeurs, dans les expressions des torseurs.