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Utiliser les opérateurs booléens élémentaires

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Objectif

Connaitre et utiliser les opérateurs booléens.

Points clés
  • NON définit la négation.
  • ET définit la conjonction.
  • OU définit la disjonction.
  • Pour combiner ces opérateurs logiques booléens, on utilise des tables de vérité, lesquelles permettent d’obtenir tous les cas possibles.
Pour bien comprendre

Tests logiques et notion de booléens

Une variable booléenne est une quantité logique qui n'admet que deux états possibles : « Vrai » ou « Faux ».

1. Opérateurs logiques booléens

Trois opérateurs logiques ont été définis par Georges Boole. Ce sont les façons de combiner les variables booléennes entre elles. Il s'agit de la négation NON, la conjonction ET (multiplication) et la disjonction OU (addition).

a. Négation NON

Cet opérateur s'applique à une seule variable booléenne et il donne la négation de cette variable. La négation d'une variable booléenne est l'opposé ou le négatif de cette variable.

« NON A » est vrai si et seulement si A est vrai.
« NON A » est aussi noté  (qui se prononce « A barre »).
Exemple : si A = 0 alors  = 1.
b. Conjonction ET

Le symbole logique de cet opérateur est « ET ». Pour deux variables booléennes, le résultat de cette opération est 0 si une variable ou les deux sont à l'état logique 0. Le résultat 1 est obtenu quand les deux variables d'entrée sont à l'état logique 1.

« A ET B » est vrai si et seulement si A est vrai et B est vrai.
« A ET B » est aussi noté « A · B ».
Exemple : si A = 0 et B = 1, alors A · B = 0 (A et B doivent être vrais pour que A · B = 1).
c. Disjonction OU

Le symbole logique de cet opérateur est « OU ». Cet opérateur défini l'addition dans l'algèbre de Boole.
Le résultat de l'addition booléenne prend la valeur 0 si les deux variables additionnées ont simultanément l'état logique 0. Il prend la valeur 1 si l'une des deux variables au moins ou les deux simultanément ont l'état logique 1.

« A OU B » est vrai si et seulement si A est vrai ou B est vrai.
« A OU B » est aussi noté « A + B ».
Exemple : si A = 0 et B = 1, alors A + B = 1.
2. Tables de vérité et portes logiques

Dans le cas général, la table de vérité d’un opérateur logique est la compilation sous forme de tableau de l'état logique de la variable de sortie par rapport aux états logiques des variables d'entrée.

Les portes logiques permettent de schématiser les opérateurs.

a. Négation NON

Le symbole de la porte logique NON est le suivant.

Le tableau suivant contient l'ensemble des possibilités lorsque cet opérateur est appliqué à une variable booléenne A.

A NON A
0 1
1 0
b. Conjonction ET

Le symbole de la porte logique ET est le suivant.

Le tableau suivant montre l'ensemble des combinaisons possibles et le résultat correspondant de l'opération logique « ET » pour deux variables booléennes A et B.

A B A ET B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
c. Disjonction OU

Le symbole de la porte logique OU est le suivant.

Le tableau suivant montre l'ensemble des combinaisons possibles et le résultat correspondant de l'opération logique « OU » pour deux variables booléennes A et B.

A B A OU B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

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