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Utiliser la méthode du complément à 2 en binaire

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Objectif

Utiliser le complément à deux pour coder un entier négatif et pour effectuer des soustractions.

Point clé

Pour obtenir l’opposé de , on utilise la méthode du complément à 2 : on inverse ses bits (les 0 deviennent des 1 et vice-versa) et on ajoute 1.

Pour bien comprendre

Addition en binaire

Pour commencer, on fixe le nombre de bits pour l’écriture d’un nombre. On prend 8 bits pour la suite.
Pour rappel, en binaire 1 + 1 = 10.

1. Inversion de bits

L’inversion de bits est une manipulation bit à bit qui consiste à passer à 0 les bits égaux à 1, et à 1 les bits égaux à 0.

est le nombre que l’on considère, alors le nombre obtenu en inversant les bits sera noté

Exemples :

Propriété :

Exemple :

2. Complément à deux et soustraction

Le complément à deux d’un nombre

est

Exemples
Le complément à deux de 00011000 vaut 11100111 + 1 = 11101000.
On a en effet :

Le complément à deux de 00000000 vaut 11111111 + 1 = 100000000, qui s’écrit sur 8 bits comme 00000000 et sera donc interprété comme zéro.

Propriété :

Le complément à deux permet donc d’écrire l’opposé du nombre

Preuve
D’après ce qui précède : .
On pose l’addition :

On a donc qui s’écrit sur 8 bits comme 00000000.
On a ainsi : .

Exemples

L’opposé de 11001100 vaut 00110011 + 1 = 00110100.
L’opposé de 00000001 vaut 11111110 + 1 = 11111111.

Méthode pour soustraire deux nombres en binaire

On transforme la soustraction en une addition en utilisant la méthode du complément à deux.
On effectue alors la somme de deux nombres écrits en binaire, en n’oubliant pas les retenues (1 + 1 = 10) et le fait que l’on écrit sur un nombre limité de bits.

Exemple : Calcul de

= 11011011 – 00111111.
Le complément à deux de 00111111 vaut 11000000 + 1 = 11000001.
On obtient alors

= 11011011 + 11000001 = 110011100.
On a en effet :

Ce qui s’écrit sur 8 bits : 10011100.

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