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Utiliser l'algèbre relationnel dans une base de données relationnelle

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Objectif

Utiliser les opérations de l'algèbre relationnel pour manipuler les bases de données relationnelles.

Points clés

L’algèbre relationnel est un langage de requêtes dans des bases de données relationnelles, qui est qualifié de procédural. Ce langage permet de réaliser des opérations sur les bases de données relationnelles dans le modèle relationnel : les opérations ensemblistes et les opérations relationnelles.
Les opérations ensemblistes sont des opérations qui permettent d’effectuer un recoupement entre les relations. Il y a l’opération union, l’opération intersection, l’opération différence et l’opération du produit cartésien.
Les opérations relationnelles sont des opérations qui permettent d’éliminer des lignes ou des colonnes de relations. On parle aussi dans la littérature d’opérateurs unaires. Il y a l’opération de la projection, l’opération sélection et l’opération jointure.

Pour bien comprendre

Base de données et schéma relationnel
Notions de clé primaire et de clé étrangère

1. Modèle relationnel et algèbre relationnel

a. Les contraintes du modèle relationnel

Dans le modèle relationnel, les données d’une base de données relationnelle sont organisées sous formes de tables, qu’on nomme des relations, qui sont associées entre elles.

Le modèle relationnel doit respecter plusieurs contraintes.

Contraintes de domaine : les attributs doivent tous appartenir à un ensemble défini lors de la création de la relation. Ainsi un attribut nom peut appartenir à l’ensemble des chaines de caractères de longueur 10 ou 255 par exemple.
Contraintes d’entité : chaque enregistrement est défini de manière unique par la clé primaire.
Contrainte de référence : on peut faire des liens entre les relations en utilisant des clés étrangères.
Contraintes d’utilisateurs : on peut interdire à certains attributs de prendre des valeurs particulières, par exemple un attribut age peut avoir une contrainte age > 18.

b. L'algèbre relationnel

Dans une base de données relationnelle, on peut traiter les données en utilisant un langage particulier : l’algèbre relationnel.

L’algèbre relationnel est un langage de requêtes dans des bases de données relationnelles. Il s’agit un langage qualifié de procédural (une suite d’opérations qui produisent alors une réponse), qui s’applique à des relations.

Ce langage a été inventé par Codd dans les années 1970.

2. Comprendre et utiliser l'algèbre relationnel

L’algèbre relationnel est un langage procédural qui permet de réaliser des opérations sur les bases de données relationnelles : les opérations ensemblistes et les opérations relationnelles.

a. Les opérations ensemblistes

Les opérations ensemblistes sont des opérations qui permettent d’effectuer un recoupement entre les relations.

Union

Pour des relations qui ont les mêmes attributs, l’opération union unie les enregistrements en éliminant les éventuels doublons.

Le résultat de T1 union T2 est une relation qui se note :

T1 T2

Exemple – Union de T1 et de T2
On étudie les relations T1 et T2.

T1
Nom	Prix
disque dur	50
DVD	5
clé USB	10

T2
Nom	Prix
clavier	10
disque dur	50
clé USB	10

L’union des relations T1 et T2 correspond à la relation T1

T2 qui est l’union de leurs enregistrements, c’est-à-dire de leurs lignes, sans répétition.

T1 T2
Nom	Prix
disque dur	50
DVD	5
clé USB	10
clavier	10

Intersection

Pour des relations qui ont les mêmes attributs, l’opération intersection permet d’obtenir une relation qui ne contient que les enregistrements communs aux deux relations.

Le résultat de T1 intersection T2 est une relation qui se note :

T1 T2

Exemple – Intersection de T1 et de T2
On étudie les relations T1 et T2, qui ont en commun deux enregistrements, pour les valeurs disque dur et clé USB.

T1
Nom	Prix
disque dur	50
DVD	5
clé USB	10

T2
Nom	Prix
clavier	10
disque dur	50
clé USB	10

L’intersection des relations T1 et T2 correspond à la relation T1

T2 qui ne contient que leurs enregistrements communs, c’est-à-dire leurs lignes communes.

T1 T2
Nom	Prix
disque dur	50
clé USB	10

Différence

L’opération différence permet d’obtenir une relation où l’on a enlevé à une relation 1 les enregistrements de la relation 2.

Le résultat de T1 différence T2 est une relation qui se note :

T1 T2

T2 est la relation obtenue en enlevant de T1 les enregistrements de T2.

Exemple – Différence de T1 et T2
On étudie les relations T1 et T2, qui ont en commun deux enregistrements, pour les valeurs disque dur et clé USB.

T1
Nom	Prix
disque dur	50
DVD	5
clé USB	10

T2
Nom	Prix
clavier	10
disque dur	50
clé USB	10

La différence entre la relation T1 et la relation T2 correspond à la relation T1

T2, où l’on a enlevé à la relation T1 tous les enregistrements également présents en T2.

T1 T2
Nom	Prix
DVD	5

La différence entre la relation T2 et la relation T1 correspond à la relation T2

T1, où l’on a enlevé à la relation T2 tous les enregistrements également présents en T1.

T2 T1
Nom	Prix
clavier	10

Produit cartésien

L’opération du produit cartésien s’applique à des relations qui n’ont aucun attribut en commun. Concrètement, le produit cartésien de T1 par T2 s’obtient en ajoutant à chaque enregistrement de la relation 1 l’un des enregistrements de la relation 2.

Le résultat du produit cartésien de T1 par T2 est une relation qui se note :

T1 T2

Exemple – Produit cartésien de T1 par T2
On étudie les relations T1 et T2, qui n’ont pas d’enregistrement en commun.

T1
Nom	Prix
clavier	10
Disque dur	50

T2
Client	Ville
Noa	Toulon
Steph	La Seyne

Le produit cartésien de T1 par T2 correspond à la relation T1

T2, où l’on a ajouté à chaque enregistrement de T1 l’un des enregistrements de T2.

T1 T2
Nom	Prix	Client	Ville
clavier	10	Noa	Toulon
clavier	10	Steph	La Seyne
Disque dur	50	Noa	Toulon
Disque dur	50	Steph	La Seyne

b. Les opérations relationnelles

Les opérations relationnelles permettent d’éliminer des lignes ou des colonnes de relations.
On parle aussi dans la littérature d’opérateurs unaires.

Projection

L’opération de la projection sélectionne un ou plusieurs attributs de la relation.

La nouvelle relation après une projection se note :

_{_{Attribut1,Attribut2,...}}(Relation)

Exemple
On considère la relation suivante.

Relation
Nom	Prenom	Age
Thon	Py	30
Bol	Co	60

La nouvelle relation après projection, _Nom,Age(Relation), est la suivante.

_Nom,Age(Relation)
Nom	Age
Thon	30
Bol	60

Cette projection a permis de ne sélectionner que les attributs Nom et Age dans la relation Relation.

Sélection

L’opération sélection permet de sélectionner des enregistrements selon des conditions qui portent sur les attributs.

La nouvelle relation qui répond aux conditions 1 à n se note :

_{_condition} _{_{1,...,condition}} _{_n}(Relation)

Exemple
On considère le schéma de relation :
LIVRES(id_num, Titre, Nom Auteur).

LIVRES
id_num	Titre	Nom Auteur
1	Les Misérables	Hugo
2	Les Ariettes Oubliées	Verlaine
3	Châtiments	Hugo

La nouvelle relation

_Nom _Auteur=HUGO(LIVRES) qui répond à la condition Nom Auteur=HUGO est la suivante.

_Nom _Auteur=HUGO(LIVRES)
id_num	Titre	Nom Auteur
1	Les Misérables	Hugo
3	Châtiments	Hugo

Cette opération a permis de sélectionner uniquement les enregistrements (lignes) où l’attribut Nom Auteur a pour valeur HUGO.

Remarque
Pour les conditions, on peut rajouter des opérateurs booléens (AND, OR ou NOT).

Jointure

L’opération jointure permet d’associer plusieurs relations dans une même requête.

Il faut cependant que cela reste cohérent, c’est-à-dire qu’il faut que les relation soient reliées à l’aide de clés étrangères. Il faut que les relations soient « reliables » entre elles (le lien étant effectué par l’intermédiaire de la clé étrangère).

Exemple
On considère les relations LIVRES et EMPRUNTEURS d’une bibliothèque.

LIVRES
id_livre	Titre	Nom Auteur
1	Les Misérables	Hugo
2	Les Ariettes Oubliées	Verlaine
3	Châtiments	Hugo

EMPRUNTEURS
id_emprunteur	id_livre	Date emprunt
101	2	02/08/20
102	3	14/03/20

Pour obtenir les informations qui concernent les emprunteurs, on peut effectuer une jointure suivant id_livre qui est une clé étrangère de la relation EMPRUNTEURS.

On obtient alors la nouvelle relation suivante, qui permet d'associer plusieurs relations dans une même requête.

id_emprunteur	id_livre	Date emprunt	Titre	Auteur
101	2	02/08/20	Les Ariettes Oubliées	Verlaine
102	3	14/03/20	Châtiments	Hugo

L’enregistrement associé à la valeur 1 de l’attribut id_livre n’apparait pas car celui-ci n’a pas été emprunté.

Remarque
Il existe également l’opération unaire, il s’agit de la division, mais elle est hors programme.

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