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Utilisation de la proportionnalité : les échelles

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Objectifs
La recherche ou l’utilisation d’une échelle sur un plan est un cas particulier de la proportionnalité.
Qu’est ce qu’une échelle sur un plan ? Comment utiliser l’échelle d’un plan pour calculer des distances ? Comment calculer l’échelle d’un plan ?
1. Echelles

a. Définition
S’il y a proportionnalité entre les dimensions d’un objet dessiné sur un schéma et ses dimensions réelles, on appelle échelle le rapport de la longueur sur le schéma par la longueur réelle correspondante ; les deux longueurs étant exprimées dans la même unité :

On exprime souvent l’échelle sous la forme d’une fraction avec le numérateur égal à 1 (réduction) ou le dénominateur égal à 1 (agrandissement).

Exemples
• Si une carte est à l'échelle , cela signifie que 1 cm sur la carte représente 500 000 cm en réalité :

Les distances sur une carte et sur le terrain sont proportionnelles.
Cette échelle peut aussi s'écrire 1 : 500 000 ou 1 / 500 000.

• Si un croquis est à l'échelle , cela signifie que 2 cm sur le dessin correspondent à 1 cm en réalité.
b. Utiliser une échelle
• Calcul d'une longueur réelle 
Sur la carte à l'échelle , deux villes sont distantes de 9,5 cm.
Quelle distance à vol d'oiseau les sépare en réalité ?
On utilise un tableau de proportionnalité :

x = ( 500 000 × 9,5 )  1 = 4 750 000.
Or  4 750 000 cm = 47,5 km, donc la distance réelle est de 47,5 km.

• Calcul d'une longueur sur une représentation 
Un insecte mesure environ 9 mm de long. On le dessine à l'échelle .
Quelle sera la longueur du dessin de cet insecte ?
On peut soit construire un tableau de proportionnalité soit calculer directement.
L'échelle signifie que 20 mm sur le dessin correspondent à 1 mm en réalité. Les longueurs sont donc multipliées par 20 sur le dessin, d'où 9 × 20 = 180 mm.
9 mm dans la réalité sont représentés par 180 mm sur le dessin, c'est-à-dire par 18 cm.

• Calculer une échelle
Sur un plan, la largeur d'une cuisine est de 1,7 cm. En réalité, elle est de 3,40 m.
Quelle est l'échelle de ce plan ?

Attention ! les deux dimensions doivent être exprimées avec la même unité : 3,40 m = 340 cm.

On complète le tableau de proportionnalité suivant :

x = ( 340 × 1 )  1,7 = 200 .
1 cm sur le plan représente 200 cm en réalité.
L'échelle de ce plan est   .

2. Agrandissement et réduction
Si l'échelle est supérieure à 1, il s'agit d'un agrandissement.
Si l'échelle est inférieure à 1, il s'agit d'une réduction.

• Exemple 1
Le négatif d'une photographie est un rectangle de 24 mm sur 36 mm. La photographie est un agrandissement du négatif ; sa longueur est 16,2 cm.
Calculer l'échelle, puis la largeur de la photographie.

16,2 cm = 162 mm.

Conseil : Pour calculer une échelle, mettre le 1 de référence dans le tableau de proportionnalité au niveau des longueurs les plus petites.

 x = ( 162 × 1 )  36 = 4,5 .
4,5 mm sur la photo représentent 1 mm sur le négatif.
L'échelle est  > 1, il s'agit donc bien d'un agrandissement.
La largeur du négatif est égale à 24 mm, donc la largeur de la photographie est 24 × 4,5 = 108 mm = 10,8 cm.

• Exemple 2
Un monument de longueur 110 m est représenté par une maquette de longueur 44 cm.
Calculer l'échelle.

110 m = 11 000 cm.

 x = ( 11 000 × 1 )  44 = 250 .
1 cm sur la maquette représente 250 m en réalité.
L'échelle est x < 1, il s'agit bien d'une réduction.

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Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
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