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Une équation cartésienne de droite

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Objectifs

Reconnaitre une équation cartésienne de droite.
Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d’un vecteur directeur.
Déterminer une équation cartésienne de droite à partir de deux points.
Déterminer un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation cartésienne.
Déterminer, à l’aide d’un algorithme, une équation de droite passant par deux points donnés.

Points clés

L’équation cartésienne d’une droite est de la forme ax + by + c = 0 avec a, b et c ∈ℝ et au moins l’un des nombres a et b non nul.
Une droite possède une seule équation réduite, mais peut avoir plusieurs équations cartésiennes différentes. En effet, on peut toujours multiplier ou diviser une équation cartésienne par un nombre non nul.
(d) est une droite, A et B sont 2 points de (d). On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur non nul colinéaire à . Autrement dit, le vecteur donne la direction de la droite (d).
Si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d’une droite (d) alors le vecteur est un vecteur directeur de (d).
Pour passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite, il suffit d’exprimer y en fonction de x.
Pour passer de l’équation réduite à une équation cartésienne, il suffit de mettre tous les termes du même côté.

Pour bien comprendre

Lire les coordonnées d’un vecteur sur un graphique
Calculer les coordonnées du vecteur
Connaitre la définition de deux vecteurs colinéaires
Résoudre une équation du premier degré

Toutes les droites du plan sont caractérisées par leur équation, qui peut s’écrire de deux façons différentes : on parle d’équation réduite ou d’équation cartésienne d’une droite. Dans cette fiche, on étudie plus particulièrement les équations cartésiennes de droites.
On considère le plan muni d’un repère orthonormé .

1. Équation cartésienne et vecteur directeur d'une droite

a. Équation cartésienne d'une droite

L’équation cartésienne d’une droite est de la forme ax + by + c = 0, avec a, b et c ∈ℝ et au moins l’un des nombres a et b non nul.

Exemples
y – 3x + 2 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
x – 3 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
y + 2 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Remarque
Une droite possède une seule équation réduite, mais peut avoir plusieurs équations cartésiennes différentes.
En effet, on peut toujours multiplier ou diviser une équation cartésienne par un nombre non nul.

Exemple
y – 3x + 2 = 0 est une équation cartésienne de droite. Mais on peut toujours multiplier cette équation par un nombre non nul.
Ainsi, si on choisit de multiplier toute l’équation par 3, on obtient une autre équation cartésienne de la même droite : 3y – 9x + 6 = 0.
De même, –6y + 18x – 12 = 0 est une autre équation cartésienne de la même droite.

b. Vecteur directeur d'une droite

Soient (d) une droite, A et B deux points appartenant à (d).
On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur

non nul colinéaire à

. Autrement dit, le vecteur

donne la direction de la droite (d).

Rappel

sont colinéaires signifie que l'un est le produit de l'autre par un réel k c’est-à-dire

Remarques

Tous les vecteurs non nuls colinéaires à sont aussi des vecteurs directeurs de (d) : il existe donc une infinité de vecteurs directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Théorème
Si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d’une droite (d), alors le vecteur

est un vecteur directeur de (d).

Exemples
La droite d’équation 3x + 2y + 10 = 0 a pour vecteur directeur

.
La droite d’équation –2x – 4y + 1 = 0 a pour vecteur directeur

2. Détermination d'une équation cartésienne de droite

a. À partir des coordonnées d'un point de la droite et d'un vecteur directeur

Méthode

Pour déterminer une équation cartésienne de droite à partir des coordonnées d’un point appartenant à cette droite et d’un vecteur directeur, on applique la propriété suivante.

Propriété
On considère une droite (d) passant par le point A(x_A,y_A) et de vecteur directeur

.
Dire que

colinéaires

Conséquence
Dire que

On vient de montrer ici que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0, avec a et b non simultanément nuls.

Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d) ; elle lie les abscisses et ordonnées de tout point M(x ; y) de cette droite et uniquement les points de cette droite.

Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d₁) passant par le point A(3 ; 2) et de vecteur directeur

.
Soit M(x, y) ∈ (d₁). On a :

.
Dire que

colinéaires

Une équation cartésienne de (d₁) est donc 6x – 4y –10 = 0.

b. À partir des coordonnées de deux points

Méthode

Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points d’une droite dont on cherche une équation cartésienne.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite (AB).
Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB), on peut donc utiliser la méthode du paragraphe précédent, avec comme point de la droite, le point A et comme vecteur directeur, le vecteur .

Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d₂) passant par les points A(4 ; 5) et B(–1 ; 2).
On a :

, d’où

.
Soit

.
On a :

.
Dire que

colinéaires

Une équation cartésienne de (d₂) est donc –3x + 5y – 13 = 0.

c. Algorithmique et programmation

À partir du paragraphe précédent, on peut rédiger sur la calculatrice un algorithme qui indique une équation cartésienne de la droite qui passe par les points A et B.
Il suffit pour cela de connaitre les coordonnées des points A et B.

Algorithme

Fonction Équation (x_A, y_A, x_B, y_B)

afficher (“la droite a pour équation”, a, “x +”, b, ”y +”, c, ”= 0”)

En langage Python, on obtient le programme suivant :

Langage Python	Interprétation
L1 def equation(XA, YA, XB, YB) : L2 a=YB–YA L3 b=–(XB–XA) L4 c=–(aXA+bYA) L5 print("la droite a pour équation", a, "x+", b, "y+", c, "=0")	L1 : On définit une fonction equation de paramètres (XA, YA, XB, YB). L2 : On affecte à la variable a l’ordonnée du vecteur directeur . L3 : On affecte à la variable b l’opposé de l’abscisse du vecteur directeur . L4 : On affecte à la variable c la valeur c obtenue dans la conséquence du 2.a. L5 : On affiche l'équation de la droite dans une phrase-réponse.

3. Transformation d'une équation cartésienne en une équation réduite et inversement

Une même équation de droite peut s’écrire sous la forme réduite ou sous la forme cartésienne. Il s’agit de deux façons différentes d’écrire une même information. On peut facilement passer d’une écriture à une autre.

a. Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite d'une droite

Rappel
L’équation réduite d’une droite est de la forme :

y = mx + p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.

Méthode

Pour passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite d’une droite, il suffit d’exprimer y en fonction de x.

Exemple
Donner l’équation réduite de la droite –3x + 5y – 13 = 0.
On a : 5y = 3x + 13,
d’où

b. Passer de l'équation réduite d'une droite à son équation cartésienne

Méthode

Pour passer de l’équation réduite d’une droite à son équation cartésienne, il suffit de mettre tous les termes du même côté.

Exemple
Donner une équation cartésienne de la droite y = 5x + 4.
Une équation cartésienne de cette droite est –5x + y – 4 = 0.

Remarque
L’équation réduite y = px + d correspond à une équation cartésienne

dont un vecteur directeur est

. On a ainsi la propriété suivante.

Propriété
La droite d’équation réduite y = px + d a pour vecteur directeur

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