Fiche de cours

Une équation cartésienne de droite

Lycée > Seconde > Mathématiques > Une équation cartésienne de droite

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Reconnaitre une équation cartésienne de droite.
Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d’un vecteur directeur.
Déterminer une équation cartésienne de droite à partir de deux points.
Déterminer un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation cartésienne.
Déterminer, à l’aide d’un algorithme, une équation de droite passant par deux points donnés.

Points clés

L’équation cartésienne d’une droite est de la forme ax + by + c = 0 avec a, b et c ∈ℝ et au moins l’un des nombres a et b non nul.
Une droite possède une seule équation réduite, mais peut avoir plusieurs équations cartésiennes différentes. En effet, on peut toujours multiplier ou diviser une équation cartésienne par un nombre non nul.
(d) est une droite, A et B sont 2 points de (d). On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur non nul colinéaire à . Autrement dit, le vecteur donne la direction de la droite (d).
Si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d’une droite (d) alors le vecteur est un vecteur directeur de (d).
Pour passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite, il suffit d’exprimer y en fonction de x.
Pour passer de l’équation réduite à une équation cartésienne, il suffit de mettre tous les termes du même côté.

Pour bien comprendre

Lire les coordonnées d’un vecteur sur un graphique
Calculer les coordonnées du vecteur
Connaitre la définition de deux vecteurs colinéaires
Résoudre une équation du premier degré

Toutes les droites du plan sont caractérisées par leur équation, qui peut s’écrire de deux façons différentes : on parle d’équation réduite ou d’équation cartésienne d’une droite. Dans cette fiche, on étudie plus particulièrement les équations cartésiennes de droites.
On considère le plan muni d’un repère orthonormé .

1. Équation cartésienne et vecteur directeur d'une droite

a. Équation cartésienne d'une droite

L’équation cartésienne d’une droite est de la forme ax + by + c = 0, avec a, b et c ∈ℝ et au moins l’un des nombres a et b non nul.

Exemples
y – 3x + 2 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
x – 3 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
y + 2 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Remarque
Une droite possède une seule équation réduite, mais peut avoir plusieurs équations cartésiennes différentes.
En effet, on peut toujours multiplier ou diviser une équation cartésienne par un nombre non nul.

Exemple
y – 3x + 2 = 0 est une équation cartésienne de droite. Mais on peut toujours multiplier cette équation par un nombre non nul.
Ainsi, si on choisit de multiplier toute l’équation par 3, on obtient une autre équation cartésienne de la même droite : 3y – 9x + 6 = 0.
De même, –6y + 18x – 12 = 0 est une autre équation cartésienne de la même droite.

b. Vecteur directeur d'une droite

Soient (d) une droite, A et B deux points appartenant à (d).
On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur

non nul colinéaire à

. Autrement dit, le vecteur

donne la direction de la droite (d).

Rappel

sont colinéaires signifie que l'un est le produit de l'autre par un réel k c’est-à-dire

Remarques

Tous les vecteurs non nuls colinéaires à sont aussi des vecteurs directeurs de (d) : il existe donc une infinité de vecteurs directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Théorème
Si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d’une droite (d), alors le vecteur

est un vecteur directeur de (d).

Exemples
La droite d’équation 3x + 2y + 10 = 0 a pour vecteur directeur

.
La droite d’équation –2x – 4y + 1 = 0 a pour vecteur directeur

2. Détermination d'une équation cartésienne de droite

a. À partir des coordonnées d'un point de la droite et d'un vecteur directeur

Méthode

Pour déterminer une équation cartésienne de droite à partir des coordonnées d’un point appartenant à cette droite et d’un vecteur directeur, on applique la propriété suivante.

Propriété
On considère une droite (d) passant par le point A(x_A,y_A) et de vecteur directeur

.
Dire que

colinéaires

Conséquence
Dire que

On vient de montrer ici que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0, avec a et b non simultanément nuls.

Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d) ; elle lie les abscisses et ordonnées de tout point M(x ; y) de cette droite et uniquement les points de cette droite.

Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d₁) passant par le point A(3 ; 2) et de vecteur directeur

.
Soit M(x, y) ∈ (d₁). On a :

.
Dire que

colinéaires

Une équation cartésienne de (d₁) est donc 6x – 4y –10 = 0.

b. À partir des coordonnées de deux points

Méthode

Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points d’une droite dont on cherche une équation cartésienne.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite (AB).
Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB), on peut donc utiliser la méthode du paragraphe précédent, avec comme point de la droite, le point A et comme vecteur directeur, le vecteur .

Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d₂) passant par les points A(4 ; 5) et B(–1 ; 2).
On a :

, d’où

.
Soit

.
On a :

.
Dire que

colinéaires

Une équation cartésienne de (d₂) est donc –3x + 5y – 13 = 0.

c. Algorithmique et programmation

À partir du paragraphe précédent, on peut rédiger sur la calculatrice un algorithme qui indique une équation cartésienne de la droite qui passe par les points A et B.
Il suffit pour cela de connaitre les coordonnées des points A et B.

Algorithme

Fonction Équation (x_A, y_A, x_B, y_B)

afficher (“la droite a pour équation”, a, “x +”, b, ”y +”, c, ”= 0”)

En langage Python, on obtient le programme suivant :

Langage Python	Interprétation
L1 def equation(XA, YA, XB, YB) : L2 a=YB–YA L3 b=–(XB–XA) L4 c=–(aXA+bYA) L5 print("la droite a pour équation", a, "x+", b, "y+", c, "=0")	L1 : On définit une fonction equation de paramètres (XA, YA, XB, YB). L2 : On affecte à la variable a l’ordonnée du vecteur directeur . L3 : On affecte à la variable b l’opposé de l’abscisse du vecteur directeur . L4 : On affecte à la variable c la valeur c obtenue dans la conséquence du 2.a. L5 : On affiche l'équation de la droite dans une phrase-réponse.

3. Transformation d'une équation cartésienne en une équation réduite et inversement

Une même équation de droite peut s’écrire sous la forme réduite ou sous la forme cartésienne. Il s’agit de deux façons différentes d’écrire une même information. On peut facilement passer d’une écriture à une autre.

a. Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite d'une droite

Rappel
L’équation réduite d’une droite est de la forme :

y = mx + p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.

Méthode

Pour passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite d’une droite, il suffit d’exprimer y en fonction de x.

Exemple
Donner l’équation réduite de la droite –3x + 5y – 13 = 0.
On a : 5y = 3x + 13,
d’où

b. Passer de l'équation réduite d'une droite à son équation cartésienne

Méthode

Pour passer de l’équation réduite d’une droite à son équation cartésienne, il suffit de mettre tous les termes du même côté.

Exemple
Donner une équation cartésienne de la droite y = 5x + 4.
Une équation cartésienne de cette droite est –5x + y – 4 = 0.

Remarque
L’équation réduite y = px + d correspond à une équation cartésienne

dont un vecteur directeur est

. On a ainsi la propriété suivante.

Propriété
La droite d’équation réduite y = px + d a pour vecteur directeur

Évalue ce cours !

Note 3.7 / 5. Nombre de vote(s) : 121

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT