Une application aux équations de sphères et de plans
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Savoir déterminer l’équation cartésienne d’un plan de l’espace à partir d’un vecteur normal au plan.
- Savoir déterminer l’équation d’une sphère à partir de son centre et de son rayon.
- Soit P un
plan. On appelle vecteur normal
à P
tout vecteur directeur
d’une droite orthogonale à P.
- Le plan P de vecteur normal
est l’ensemble des points M du plan tels que
.
Si, alors une équation cartésienne du plan P est de la forme ax + by + cz + d = 0.
- Si le plan P a pour équation
ax + by + cz + d = 0,
alors le vecteur
est un vecteur normal à P.
- Une équation de la sphère de centre
I(a ; b ; c) et de rayon
R est
.
- Connaitre la notion d’équation cartésienne d’un plan.
- Connaitre le produit scalaire.
- Déterminer la position relative de deux plans.
- Connaitre la notion de vecteurs colinéaires.
- Connaitre l’équation paramétrique d’une droite.
Soit un plan P
muni d’un repère orthonormé .
Pour cette notion, on peut aussi se référer au cours « Équation cartésienne d’un plan ».
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Soit P un plan de vecteur normal
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Le plan P de vecteur normal
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Si
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Écrire une équation du plan P passant par A(– 2 ; 3 ; 1) et de vecteur normal le vecteur
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-
Méthode n° 1 : M(x ; y ; z)
appartient au plan P équivaut
à dire que
.
Oret
, ainsi
équivaut à
Le plan P a pour équation.
-
Méthode n° 2 : Comme
est un vecteur normal, on peut dire qu’une équation de P est de la forme x – y + 2z + d = 0.
Reste à déterminer d en utilisant le fait que A(– 2 ; 3 ; 1) appartient à P, donc que ses coordonnées vérifient l’équation de celui-ci, à savoir – 2 – 3 + 2 + d = 0.
Soit d = 3, ce qui permet de conclure que P a pour équation.
On montre que si le plan P a pour équation ax + by + cz + d = 0, alors le vecteur
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Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante.
Une équation de la sphère de centre I(a ; b ; c) et de rayon R est
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Une équation de la sphère S de centre I(– 2 ; 1 ; 2) et de rayon 3 est
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On peut aussi donner une équation développée :
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Quel est l’ensemble des poins M(x ; y ; z) vérifiant
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On remarque que cette équation ressemble à une équation de sphère.
Pour caractériser cette sphère, on doit retrouver la forme initiale de l’équation, à savoir la forme
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Or
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![](/se/media/img/3/8/8/2/388211.gif)
De même,
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![](/se/media/img/6/0/2/7/602719.gif)
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soit
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Cette équation est de la forme
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On peut conclure que l’ensemble cherché est la sphère de centre I(1 ; 2 ; 3) et de rayon 4.
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