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Théorème de Bézout et théorème de Gauss

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Objectif(s)

Connaitre et utiliser le théorème de Bézout
Connaitre et utiliser le théorème de Gauss

Points clés

Soient deux nombres naturels a et b. Si D est leur PGDC (Plus Grand Commun Diviseur) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = D.
L'équation ax + by = k n'admet des couples d'entiers solutions que si k est un multiple du PGCD de a et b.
Théorème de Bézout : Deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
L'équation ax + by = 1 n'admet des couples entiers solutions que si les coefficients a et b sont premiers entre eux.
Théorème de Gauss : a, b et c sont des entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.
Une des utilisations due théorème de Gauss est la recherche de l'ensemble des couples d'entiers solution d'une équation du type ax + by = c (a, b et c entiers) à partir d'une solution particulière.

1. Théorème de Bézout

a. Egalité de Bézout

Soient deux nombres naturels a et b.
Si D est leur PGDC (Plus Grand Commun Diviseur) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = D.

Exemple : Soit l'équation 15x + 9y = 3.
3 est le PGCD de 15 et 9 ; donc on peut trouver un couple d'entiers (x ; y) solution de l'équation.
(2 ; -3) est un couple de solution car 2 x 15 + (-3) x 9 = 3.
(-4 ; 7) est aussi un couple solution car (-4) x 15 + 7 x 9 = 3.

Conséquence
L'équation ax + by = k n'admet des couples d'entiers solutions que si k est un multiple du PGCD de a et b.

Démonstration
Soit D le PGCD de a et b et soit k un nombre entier non multiple de D.
Supposons qu'il existe deux entiers p et q tels que ap + bq = k.
Par définition D divise a et D divise b donc D divise la combinaison linéaire ap + bq.
Or, ap + bq = k donc D divise k, ce qui est contraire à la donnée, donc p et q n'existent pas et l'équation n'a pas de solutions entières.

Exemple
Soit l'équation 12x + 18y = 15. Le PGCD de 12 et 18 est 6 et 15 n'est pas multiple de 6, donc l'équation n'a pas de solutions entières.

b. Théorème de Bézout

Théorème
Deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

Démonstrations

Si a et b sont premiers entre eux, alors il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
En effet, si a et b sont premiers entre eux alors leur PGCD est 1 et d'après l'égalité de Bézout, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
S'il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
Le PGCD D de a et b divise a et divise b, donc il divise au + bv.
Or au + bv = 1 donc D divise 1, ce qui prouve que D = 1 et que a et b sont premiers entre eux.
En effet -2(7p + 3) + 7(2p + 1) = 1. Donc il existe deux entiers u = -2 et v = 7 tels que au + bv = 1.

Conséquence
L'équation ax + by = 1 n'admet des couples entiers solutions que si les coefficients a et b sont premiers entre eux.

Exemple : l'équation 15x + 9y = 1 n'a pas de solution dans

car 15 et 9 ne sont pas premiers entre eux.

2. Le théorème de Gauss

Théorème
a, b et c sont des entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.

Démonstration
a divise bc, donc il existe k entier tel que bc = ka.
a et b sont premiers entre eux donc il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
D'où c = cau + cbv et bc = ka, donc c = cau + kav = a(cu + kv) ce qui prouve que a divise c.

Exemple
Si deux entiers n et q vérifient l'égalité 3n = 4q, le théorème de Gauss permet d'affirmer que n est divisible par 4.
En effet 4 divise 3n, 4 est premier avec 3 donc 4 divise n (pour la même raison q est divisible par 3).

Utilisation

Une des utilisations de ce théorème est la recherche de l'ensemble des couples d'entiers solution d'une équation du type ax + by = c (a, b et c entiers) à partir d'une solution particulière.

Exemple : On sait que (2 ; 1) est une solution particulière de 4x - 3y = 5.
Trouver tous les couples solutions de l'équation.

On sait que 4 x 2 - 3 x 1 = 5 et que 4x - 3y = 5 donc 4 x 2 - 3 x 1 = 4x - 3y.
On peut écrire 4 x 2 - 4x = 3 x 1 - 3y soit 4(2 - x) = 3(1 - y).
4 divise 3(1 - y) et 4 est premier avec 3 donc 4 divise 1 - y d'après le théorème de Gauss.
Donc il existe k entier tel que 1 - y = 4k, d'où y = 1 + 4k ; k entier.
On en déduit que x = 2 + 3k.
Donc, si le couple (x ; y) est solution, alors y = 1 + 4k et x = 2 + 3k.
Réciproquement s'il existe k entier tel que y = 1 + 4k et x = 2 + 3k, alors 4(2 + 3k) - 3(1 + 4k) = 8 - 3 = 5 donc le couple (x ; y) est solution de l'équation.

Les couples solutions sont (2 + 3k ; 1 + 4k) avec k entier.

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