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Taux d'évolution et coefficient multiplicateur- Première- Mathématiques

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Quiz et exercices
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Objectifs

Calculer un taux d’évolution.
Exprimer un taux d'évolution en pourcentage.
Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale.

Points clés

Pour mesurer la variation d'une quantité dans le temps, on utilise le taux d’évolution (ou variation relative).
Le taux d’évolution n’est pas exprimé dans une unité. Souvent, il est donné en pourcentage.
Dans ce cas : ,
T_e étant le taux d’évolution en pourcentage.

On parle beaucoup du taux d’évolution dans le langage courant, mais pour appliquer un taux d'évolution à une quantité, on utilise le coefficient multiplicateur.
Le cœfficient multiplicateur CM est le nombre par lequel il faut multiplier la valeur initiale pour obtenir la valeur finale .
On a la relation : .
Le cœfficient multiplicateur CM et le taux d’évolution sont reliés par une formule : ,
étant le taux d’évolution en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.

Pour bien comprendre

Produit en croix
Calcul de pourcentage

1. Taux d'évolution entre deux valeurs successives

a. Calcul d'un taux d'évolution

Pour mesurer la variation d'une quantité dans le temps, on utilise le taux d’évolution (ou variation relative).

Le taux d’évolution s’obtient par la formule suivante :
taux d'évolution =

Remarque
Le taux d’évolution n’est pas exprimé dans une unité. Souvent, il est donné en pourcentage.
Dans ce cas :

,
T_e étant le taux d’évolution en pourcentage.

Exemple
Un objet coutait 2,13 € en 2018. Le même objet est vendu 2,33 € en 2019.
On a donc un taux d’évolution en pourcentage

(arrondi au dixième). Le prix de l'objet a donc augmenté de 9,4 % entre 2018 et 2019.

b. Interprétation

Trois cas peuvent se présenter :

si le taux d’évolution est positif, on a une augmentation ;
si le taux d’évolution est négatif, on a une diminution ;
si le taux d’évolution est nul, il n’y a ni augmentation, ni diminution.

Démonstration

Repartons de la définition du taux d’évolution et transformons l’expression :
taux d'évolution =

Si taux d'évolution > 0, alors
donc et (en supposant que la valeur initiale est positive). Il s’agit donc bien d’une augmentation.
Si taux d'évolution < 0, alors
donc et (en supposant que la valeur initiale est positive). Il s’agit donc bien d’une diminution.
Si taux d'évolution = 0, alors
donc et . Il n’y a donc ni augmentation ni diminution.

Exemple
On reprend l’exemple précédent. Le taux d’évolution de 9,4 % est positif, ce qui signifie que le prix de l’objet a augmenté de 9,4 % entre 2018 et 2019.

2. Application d'un taux d'évolution

On parle beaucoup du taux d’évolution dans le langage courant, mais pour appliquer un taux d'évolution à une quantité, on utilise le coefficient multiplicateur.

Exemples
Si une quantité initiale augmente de 8 %, alors pour obtenir la quantité finale, on ne la multiplie pas par 8 %, mais par un coefficient multiplicateur qui vaut 1 + 8 % = 1 + 0,08 = 1,08.
Si une quantité initiale diminue de 32 %, alors pour obtenir la quantité finale, on ne la multiplie pas par – 32 %, mais par un coefficient multiplicateur qui vaut 1 – 32 % = 1 – 0,32 = 0,68.

Le cœfficient multiplicateur CM est le nombre par lequel il faut multiplier la valeur initiale

pour obtenir la valeur finale

.
On a la relation :

Pour connaitre la valeur du coefficient multiplicateur à partir du taux d'évolution, on utilise la relation suivante.

Le cœfficient multiplicateur CM et le taux d’évolution

sont reliés par une formule :

est le taux d’évolution exprimé en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.

Exemple
Un objet coute 145 €. Son prix diminue de 10 %. Quel est son nouveau prix ?
Attention, le nouveau prix n’est pas égal à

!
On cherche à calculer la valeur finale d’un objet à partir de sa valeur initiale et du taux d’évolution.
On utilise la formule :

.
Son nouveau prix est donc de 130,5 €.

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