Système de numérotation décimale

On attribue au mathématicien Simon Stevin la formulation de l'arithmétique décimale en 1585.

Dans cette arithmétique, le système de numérotation est composé de 10 chiffres (d'où le nom décimal).

Ces chiffres sont représentés, dans la plupart des pays, par les symboles arabes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Cette étude vous servira de rappel :

• des notations et des pondérations dans ce système,
• des façons d'effectuer l'addition et la soustraction.

Ces notions sont indispensables à la compréhension des autres systèmes de numérotation.

Dans le système décimal, les nombres sont représentés par des chiffres de 0 à 9, disposés de part et d'autre de la virgule radicale. Cette dernière est alors appelée virgule décimale, ceci en référence à la base 10.

Les chiffres à gauche de la virgule décimale forment la partie entière du nombre alors que ceux de la partie de droite constituent la partie fractionnelle.

La position de chaque chiffre détermine son poids relatif selon qu'il appartient à la portion entière ou fractionnelle du nombre.

La figure suivante vous montre les diverses parties d'un nombre décimal.

Parties d'un nombre décimal :

En partant de la virgule décimale, de la droite vers la gauche, les poids sont respectivement de :

• 10⁰ = 1 (colonne des unités),
• 10¹ = 10 (colonne des dizaines),
• 10² = 100 (colonne des centaines),
• 10³ = 1000 (colonne des milliers) etc.

En d'autres mots, le poids de chaque chiffre est une puissance croissante de 10.

Pour la partie fractionnelle, en partant de gauche vers la droite, les poids respectifs sont :

• 10^-1 = 1/10,
• 10^-2 = 1/100,
• 10^-3= 1/1000 etc.

C'est donc une succession décroissante de puissances négatives de 10.

Notez que les nombres en base 10 sont inscrits entre parenthèses avec 10 comme indice pour faire la distinction avec les autres systèmes de numérotation [ex. : (233)₁₀].

L'addition de deux nombres dans le système de numérotation décimale est une opération qui s'effectue en suivant la procédure suivante.

- Les deux nombres à additionner sont, en premier lieu, placés l'un au-dessus de l'autre de manière que leurs colonnes des unités soient superposées.

- Le nombre placé en haut est appelé cumulande tandis que celui du bas porte le nom de cumulateur. Le résultat final est la somme.

- Les chiffres de chaque colonne, en commençant par les unités, sont ensuite additionnés.

Si le résultat est inférieur ou égal à 9 (qui est le chiffre maximal de la base 10), le résultat est directement inscrit dans la colonne correspondante de la somme.

Par contre, si ce résultat est strictement supérieur à 10 (égal ou supérieur à 10), l'excédant est inscrit dans la colonne correspondante de la somme et un report de 1 est effectué dans la colonne suivante. La figure suivante présente un exemple simple d'addition des deux nombres décimaux 7916 et 3285.

Addition dans le système décimal :

Dans la colonne des unités, l'addition de 6 + 5 donne 11, ce qui est supérieur à 10.

L'excédant à 10, dans ce cas 1, est inscrit dans la colonne des unités de la somme et un report de 1 dans la colonne des dizaines.

L'addition de la colonne des dizaines du cumulande et du cumulateur est 1 + 8 = 9 auquel il faut ajouter le 1 reporté, ce qui donne 10. Le 0 est inscrit dans la colonne des dizaines de la somme et l'on reporte 1 dans la colonne des centaines.

L'addition de la colonne des centaines est 9 + 2 = 11 auquel il faut ajouter le 1 reporté pour un total de 12. L'excédant à 10, dans ce cas 2, est inscrit dans la colonne des centaines de la somme ce qui est suivi d'un nouveau report de 1 dans la colonne des milliers.

L'addition de la colonne des milliers est alors 7 + 3 = 10 auquel on ajoute le 1 reporté, ce qui donne 11. On inscrit alors 1 dans la somme et l'on reporte 1 dans la colonne des dizaines de milliers.

Étant donné que ni le cumulande ni le cumulateur n'ont des chiffres dans cette colonne, le 1 reporté sera directement inscrit dans la colonne correspondante de la SOMME. Le résultat final se lit alors :

.

Ou encore : "onze mille deux cent et un"

La soustraction de deux nombres dans le système de numérotation décimale est effectuée en suivant la procédure suivante :

- Le nombre à retrancher est appelé diminuteur. Il est placé sous le diminuende qui est le nombre duquel le diminuteur est soustrait. Le résultat total sera contenu dans la différence.

- En partant de la colonne dont le poids est le plus faible, c'est-à-dire la colonne des unités, tout chiffre de chaque colonne du diminuteur est soustrait de celui du diminuende. Si le chiffre du diminuteur est plus petit que celui du diminuende, le résultat sera inscrit directement dans la colonne correspondante de la différence.

Par contre, si le diminuteur est plus grand que le diminuende, il faut alors effectuer une retenue en respectant les deux règles suivantes :

- Règle n° 1 : Une retenue augmente le diminuende de 10 ;

- Règle n° 2 : Une retenue retranche 1 au chiffre du diminuende immédiatement à sa gauche.

La figure suivante présente la soustraction des deux nombres décimaux 50 427 et 29 861.

Soustraction des deux nombres décimaux 50 427 et 29 861 :

Les étapes pour effectuer cette soustraction sont les suivantes :

- La soustraction de la colonne des unités ne pose aucun problème parce que le diminuende 7 est plus grand que le diminuteur 1. Le résultat de la soustraction 7 - 1 donne 6 qui est inscrit directement dans la colonne des unités de la différence.

- La soustraction de la colonne des dizaines nécessite une retenue, car le diminuende 2 est plus petit que le diminuteur 6. L'application de la règle n° 1 fait augmenter le 2 de 10, ce qui donne 2 + 10 = 12. Le diminuende de la colonne à gauche (colonne des centaines) se voit retrancher 1. Le 4 devient alors 3, conformément à la règle n° 2. La différence de la colonne des dizaines donne alors 12 - 6 = 6.

- La soustraction de la colonne des centaines nécessite une deuxième retenue. En effet, le nouveau diminuende 3 (à cause de la première retenue) est inférieur au diminuteur 8. Le 3 est augmenté de 10, ce qui donne 3 + 10 = 13 de telle manière que la différence 13 - 8 = 5 est portée dans la colonne des centaines de la différence. Avant de passer à la soustraction de la colonne des milliers, il faut appliquer la deuxième règle de la retenue, ce qui implique de retenir 1 de 0. Comment effectuer cette opération ?

- Étant donné qu'il est impossible de retenir 1 de 0, il faut effectuer une autre retenue sur la colonne des milliers. Cette retenue fait passer le 0 à 10, tout en retranchant 1 au diminuende de la colonne des dizaines de milliers. Ainsi, le 5 devient 4.

- Ensuite, le nouveau diminuende de la colonne des milliers, 10, devient 9 duquel il faut soustraire le diminuteur 9 9, ce qui donne 9 - 9 = 0.

- L'opération totale de la soustraction est complétée par la soustraction 4 - 2 = 2 qu'on porte à la colonne des dizaines de milliers de la différence.