Suites numériques : opérations sur les limites

Propriété 1 (admise)
On dispose des six propositions suivantes :

	1	2	3	4	5	6
Si lim (un) =	L	L	L
et si lim (vn) =	L'
alors lim (un + vn) =	L + L'					?

Exemple ayant valeur de « modèle rédactionnel »
Pour tout entier naturel n, on pose s_n = n² + n et t_n = n² - n. Étudier la limite de ces deux suites.

On dispose des propositions suivantes :

   • , il s’agit de l’application des exemples usuels connus et de la proposition 4 de la propriété 1.

   • , il y a une F.I. par application de la proposition 6 de la propriété 1. On va devoir écrire t_n autrement, mais il faut avant connaître la propriété 2… un peu de patience donc !

Propriété 2 (admise)
On dispose des neuf propositions suivantes :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Si lim (un) =	L	L > 0	L < 0	L > 0	L < 0				0
et si lim (vn) =	L'
alors lim (un × vn) =	L × L'								?

Remarques

• Il faut faire très attention au cas de F.I.
En effet, on est habitué à ce que la multiplication de tout nombre par 0 fasse 0 ; MAIS ici, on ne multiplie pas par 0.
lim (u_n) = 0 est une notation dangereuse, car il s’agit d’un zéro de notation de limite et personnellement nous préférons la notation .
Cette F.I. soulève donc le « problème » de la multiplication de deux quantités, l’une infiniment proche de 0 et l’autre infiniment grande en valeur absolue ; entre ces deux infinis (le « petit » et le « grand »), on ne peut savoir a priori qui « va l’emporter » : une autre écriture de la suite est donc nécessaire.

• On ne donne pas de propriété pour la soustraction.
En effet, u_n – v_n = u_n + (- v_n) et – v_n = (-1) × v_n et comme suite constante.
On peut alors conclure que si v_n a une limite alors – v_n a une limite opposée à celle-ci.

Exemple ayant valeur de « modèle rédactionnel »
• Pour tout entier naturel n, on pose p_n = - 3n²,  t_n = n²- n et . Étudier la limite de ces trois suites.

On dispose des propositions suivantes :
 
   • , il s’agit de l’application des exemples usuels (avec -3 suite constante) et de la proposition 3 de la propriété 2.

   • On a vu au 1) qu’on a une F.I. pour t_n ; on va donc transformer l’écriture de t_n.
t_n = n(n - 1) = n(n + (-1) ; on a tout simplement mis en facteur.

  par application de la proposition 2 de la propriété 1.

  , il s’agit de l’application de la proposition 6 de la propriété 2. On a donc « levé » la F.I. de t_n.

   • .

On montre avec la propriété 1 que et on sait que .

Donc , d’après la proposition 9 de la propriété 2 (on répète ici le danger du zéro qui entraîne souvent le réflexe multiplicatif d’écrire 0 comme limite pour r_n.
Or, on ne multiplie pas ici par 0, mais par une quantité proche de 0.

On doit donc « lever » la F.I., on transforme l'écriture de r_n :



et , donc par application de la proposition 2 de la propriété 1.

Pour tout ce paragraphe v est une suite numérique telle que pour tout entier naturel n, v_n ≠ 0.
Par contre attention, la lim (v_n) peut être nulle.
On va d’ailleurs séparer les cas par rapport à cette possibilité.

Propriété 3 (admise)
On suppose ici que lim (v_n) ≠ 0.
On dispose des huit propositions suivantes :

	1	2	3	4	5	6	7	8
Si lim (un) =	L	L	0
et si lim (vn) =	L'		L' ou	L' > 0	L' < 0	L' > 0	L' < 0
alors lim (un / vn) =	L / L'	0	0					?

Propriété 4 (admise)
On suppose ici que lim (v_n) = 0.
On démontre et on admet ici que dans ce cas v_n > 0 ou v_n < 0 à partir d’un certain rang, autrement dit que v_n garde un signe constant à partir d’un certain rang.
On s’autorise parfois la notation pour dire que v_n > 0 à partir d’un certain rang ou pour dire que v_n < 0 à partir d’un certain rang.
C’est ce que l’on fera dans le tableau par souci de commodité d’écriture.

On dispose ainsi des neuf propositions suivantes :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Si lim (un) =	L > 0	L < 0			L > 0	L < 0			0
et si lim (vn) = 0	0+	0+	0+	0+	0-	0-	0-	0-	0
alors lim (un / vn) =									?

Remarque « explicative »
Prenons par exemple la proposition 7 de la propriété 4.

Elle indique que : .

Pour retenir ce résultat et les autres, il suffit de raisonner logiquement en pensant (MAIS en ne l’écrivant pas sur la copie !) :
« » a un signe NEGATIF (+/- = -) et on divise un très grand nombre par un nombre très proche de zéro, on obtient donc un nombre négatif très grand en valeur absolue, à savoir .

Exemple ayant valeur de « modèle rédactionnel »

Pour tout entier naturel n, on pose et . Étudier la limite de ces deux suites.

On dispose des propositions suivantes :
    • , il s’agit de l’application des exemples usuels et de la proposition 2 de la propriété 3.

    • On démontre avec la propriété 1 que et, donc d’après la proposition 7 de la propriété 3.

On doit donc lever la F.I., pour cela, on transforme l'expression de a_n en factorisant par n.

Pour n non nul, on obtient : .

Or, et , donc on montre facilement avec les différentes propriétés calculatoires que et .

Finalement, d’après la proposition 2 de la propriété 3.