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Suites numériques : limites et comparaison

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Objectif(s)

• Donner des premiers théorèmes « outils » pour déterminer la limite d’une suite numérique.
• Comparer les termes d’une suite à la valeur de la limite finie de celle-ci dans un cas particulier.

1. Un théorème pour déterminer une limite infinie

Soit (u ; v) un couple de suites numériques.

Théorème 1
Soit n₀ un entier naturel fixe.
On dispose des propositions suivantes :
• (P₁) Si pour tout entier naturel n supérieur à n₀, u_n ≤ v_n et si

, alors

.
• (P₂) Si pour tout entier naturel n supérieur à n₀, v_n ≤ u_n et si

, alors

Seule la proposition (P₁) a une démonstration exigible pour le bac, mais les deux propositions sont au programme de TS et doivent être connues.

Illustration de (P₁)

Démonstration de (P₁)
Soit n₀ un entier fixé.

• On doit démontrer que

, c’est-à-dire que tout intervalle de la forme

contient toutes les valeurs de v_n, à partir d’un rang entier.

Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
•

(sur l’illustration, les points v_n sont « au dessus » des points u_n à partir du rang entier n₀).

•

, donc pour tout réel A, il existe un rang entier n₁ tel que :

(sur l’illustration, les points u_n sont « au dessus » de la droite y = A, à partir du rang entier n₁).

Il suffit alors de poser n₂ le plus grand des deux entiers, entre n₀ et n₁ (sur l’illustration on aurait n₂ = n₁).

En effet, on dispose alors de la proposition :

, soit v_n ≥ u_n.

.

On a : v_n ≥ u_n et u_n > A, on en déduit : v_n > A.

Il existe donc bien un rang, à savoir l’entier n₂, à partir duquel tous les termes v_n sont dans un intervalle quelconque de la forme

.

Exemple
Pour tout entier naturel n, on pose :

. Déterminer la limite de a_n.

Soit n un entier naturel.
On a : n⁴ + 1 > n⁴, donc

puisque la fonction racine carrée est une fonction croissante.

Donc pour tout entier naturel n, a_n > n² et

, donc

2. Un théorème pour déterminer une limite finie

Soit (u ; v ; w) un triplet de suites numériques.

Théorème 2, théorème dit « des gendarmes »
Soit n₀ un entier naturel fixe.
Soit L un réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si pour tout entier naturel supérieur ou égal à n₀, v_n ≤ u_n ≤ w_n,
et si

et si

, alors

Ce théorème est admis conformément au programme ; les termes v_n et w_n sont « les gendarmes », tandis que le terme u_n est « le voleur ».

Exemple
Pour tout entier non nul n, on démontre facilement que

.
Or

, donc

.

Illustration de l’exemple

3. Un théorème pour les suites croissantes convergentes

Soit u = (u_n) une suite numérique.

Théorème 3
Soit L un nombre réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si la suite u est croissante et si elle converge vers le nombre L, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux à L.

Remarque
La démonstration de ce théorème est exigible pour le bac. Elle utilise un raisonnement important, le raisonnement par l’absurde. L’illustration de la démonstration est donnée à la fin de celle-ci. N’hésitez pas à aller voir cette illustration pour mieux comprendre les passages « délicats » de la démonstration.

Démonstration
Soit L un réel fixe.
On doit démontrer la proposition (P), pour tout entier naturel n, u_n ≤ L.

Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
• Pour tout entier naturel n, u_n ≤ u_n+1 (u est croissante).
•

, donc tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang.

On va effectuer un raisonnement par l’absurde, c’est-à-dire que l’on va supposer vraie la proposition (NON P), à savoir : il existe un entier n₀ pour lequel > L.
On va alors démontrer que l’on obtient une proposition contradictoire, c’est-à-dire à la fois vraie et fausse, ce qui est bien sûr impossible. D’où l’absurdité de la supposition !

On pose d = u_n - L.
On a alors :

puisque u est croissante.

Donc

.

Or

, donc il existe un rang n₁ à partir duquel toutes les valeurs de u_n sont dans l’intervalle

, intervalle ouvert contenant L.

On pose alors n₂ le plus grand des deux entiers n₀ et n₁.

Pour n ≥ n₂, on a à la fois

.

On obtient ainsi une proposition contradictoire, ce qui est impossible.
Donc la proposition (NON P) supposée vraie est fausse, autrement dit la proposition (P) est vraie.

Illustration de la démonstration

Remarque
On dispose d’un théorème pour les suites décroissantes et convergentes vers L ; alors bien sûr, pour tout entier naturel n, u_n ≥ L.

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