Suites numériques : comportement à l'infini de (qn), avec q un réel.
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Remarque
Il s’agit donc d’un « petit » théorème qui va nous être utile pour un théorème « plus important » : un tel « petit » théorème est alors appelé lemme.
Ce mot de mathématique vous est ici donné pour enrichir votre « culture mathématique ».
Soit a un réel strictement positif.
Pour tout entier naturel n, on dispose de l’inégalité (1 + a)n ≥ 1 + na.
Démonstration
La démonstration de cette inégalité se fait à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Soit a un réel strictement positif fixe.
Soit n un entier naturel quelconque.
On appelle (Pn) la proposition : (1 + a)n ≥ 1 + na.
• Initialisation : n = 0.
On a : (1 + a)0 = 1 et 1 + 0 × a = 1 et 1 ≥ 1, donc (P0) est une proposition vraie.
• Hérédité : soit k un entier naturel quelconque.
On doit démontrer que la proposition : ((Pk)
(Pk+1))
est une proposition vraie, autrement dit on doit
démontrer que l’inégalité (1 +
a)k+1 ≥ 1 +
(k + 1)a est vraie sachant que l’on dispose de
l’inégalité (1 +
a)k ≥ 1 + ka.On a :
(1 + a)k+1 = (1 + a) (1 + a)k et (1 + a)k ≥ 1 + ka et a > 0,
donc (1 + a) (1 + a)k ≥ (1 + a)(1 + ka). On a en fait multiplié les deux côtés par le nombre positif (1 + a).
Ainsi (1 + a)k+1 ≥ 1 + (k + 1)a + ka2.
Or, 1 + (k + 1)a + ka2 ≥ 1 + (k + 1)a puisque ka2 ≥ 0.
Finalement, on a bien (1 + a)k+1 ≥ 1 + (k + 1)a.
• Conclusion :
La proposition (Pn) est vraie au rang initial n = 0 et de surcroît est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
Soit q un nombre réel.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1), si q > 1, alors
• (P2), si q = 1, alors
• (P3), si –1 < q < 1, alors
• (P4), si q ≤ –1, alors la suite (qn) n’a pas de limite.
Conformément au programme, on ne démontre que (P1). On note néanmoins que (P2) à est une proposition évidente puisque 1n = 1, donc 1n → 1.
► Démonstration de (P1)
Soit q un réel vérifiant q > 1.
On a :
q > 1, il existe un réel a tel que q = 1 + a et a > 0.
Donc d’après le lemme de l’inégalité de Bernoulli, on a : qn = (1 + a)n ≥ 1 + na.
Conclusion :
,
d’après un théorème de
comparaison.► Exemples d’application directe
•
car 2
> 1.•
car
.► Exemple d’application « moins » directe
Pour tout entier naturel n, on pose
.
Étudier le comportement à l’infini de
(un).Soit n un entier naturel.
On a :
.Vous pouvez constater qu’il est NÉCESSAIRE de bien maîtriser les formules sur les puissances entières, formules vues au collège.
, donc
et
, donc
.
,
où up est le premier terme, terme
donné.Donc
;
est un
nombre fixe donné et l’on connaît le
comportement à l’infini de
qn à l’aide du
théorème précédent : on peut
donc étudier le comportement à l’infini
de la suite u.• Soit u une suite géométrique de premier terme u0 donné et de raison q (on adaptera les calculs si le premier terme n’est pas u0).
On s’intéresse parfois dans les exercices à la somme des termes consécutifs de la suite u.
Par exemple, on pose :
.On a vu en 1S que l’on peut simplifier Sn ; on va le refaire pour rappel.
On a :
, il
s’agit d’une somme de (n+1) termes.Sn = u0(1 + q + … + qn-1 + qn)
• Cas 1 : q = 1.
Sn = u0(1 + 1 + … + 1 + 1) = u0(n+1).
et
donc
, cela
dépend du signe de u0.• Cas 2 : q ≠ 1.
Sn = u0(1 + q + … + qn-1 + qn)
d’après une formule démontrée en
1S.
.On recommande ici de ne pas apprendre par cœur cette formule, MAIS de refaire sur votre copie les quelques lignes qui l’établissent.
est une
constante et on connaît le comportement à
l’infini de qn. Il ne reste plus
qu’ à déduire le comportement à
l’infini de (1 - q ×
qn), puis d’en déduire le
comportement à l’infini de
Sn.► Exemple d’application directe où u est une suite géométrique de premier terme 2 et de raison q = –0,5.
Soit n un entier naturel.
On a :
un = u0 × qn = 2 × (–0,5)n
Sn = 2 + 2(–0,5) + … + 2(–0,5)n–1 + 2(–0,5)n
Sn = 2(1 + (–0,5) + … + (-0,5)n-1 + (–0,5)n)
(–0,5)n → 0 car –1 < –0,5 < 1, donc 0,5. (–0,5)n → 0 et (1 + 0,5. (–0,5)n → 1).
Ainsi, on a :
.Évalue ce cours !
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