Suites géométriques et arithmético-géométriques
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• Connaître la formule donnant 1 + q + … + qn avec q
1.• Déterminer la limite d’une suite géométrique de raison strictement positive.
• Étant donné une suite (qn) avec 0 < q < 1, mettre en œuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel qn est inférieur à un réel a positif donné.
• Traduire une situation donnée à l’aide d’une suite arithmético-géométrique.
Chaque fois que l’on utilise des pourcentages répétitifs, des situations où les résultats sont proportionnels à chaque résultat précédent, on est dans le cas d’une suite géométrique.
Exemple : de 2000 à 2012 la population d’une ville a augmenté de 3 %. Sachant que la population de l’an 2000 était de 210 000 habitants, quelle devrait être la population de l’an 2012 de cette ville ?
Utiliser le coefficient de proportionnalité noté k tel que :
.Pour passer d’une année à l’autre, il faut donc multiplier le nombre d’habitants par 1,03. D’où le nombre d’habitants que l’on doit constater en 2012 :
(arrondi à l’unité
près).La population réelle étant de 300 000 habitants en 2012, le modèle proposé est considéré comme validé par l’observation, on suppose que pour les 20 prochaines années, l’augmentation suivra la même règle.
Combien d’habitants devraient habiter cette ville en 2032 ? Nombre d’habitants auquel on doit s’attendre en 2032 :
(arrondi à l’unité près).
.Une suite géométrique est une suite de nombres pour laquelle, à partir d’un premier terme, chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent toujours par le même nombre, strictement positif. Le nombre multiplié est appelé raison.
D’après la définition :
, q étant la raison de
la suite, on a : 0 < q.
Exemple : On place 530 € au taux d’intérêt composé de 3,25 % annuel (l’intérêt acquis à chaque période est ajouté au capital). L’intérêt ajouté chaque année est différent. Il faut utiliser le coefficient multiplicateur qui vaut :
.Chaque année on multiplie par le même nombre (le CM), c’est une suite géométrique.
On pose u0 = 530 et pour chaque année n,
le capital obtenu
après n années.On définit ainsi une suite géométrique de premier terme u0 = 530 et de raison q = 1,0325.
Remarque : les suites géométriques sont notées quelques fois(Vn) .
, ce qui permet de calculer
facilement l’un des termes de la suite,
u0 étant donné.
(arrondi à 10-2
près).
. Attention, parfois on préfère
commencer une suite par u1 et non par
u0. Appliquer cette formule dans le cas
où le premier terme donné est
u1.
. De même, si
u0 (ou u1) n’est pas
donné, appliquer cette formule dans le cas
où le terme connu est up.
Si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante (elle est strictement monotone).
Si 1 < q, la suite est strictement croissante (elle est strictement monotone).
• Pour u0 < 0 :
Si 0 < q < 1, la suite est strictement croissante (elle est strictement monotone).
Si 1 < q, la suite est strictement décroissante (elle est strictement monotone).
Remarques
• Si q = 1 la suite est constante, chaque terme vaut u0.
• Si q = 0 la suite est constante au-delà de u0, tous les termes sont nuls.
• Si q < 0 la suite est alternée, un terme positif, le suivant négatif.
est constant (ce
que l’on apprend sous la forme valeur finale moins
valeur initiale sur valeur initiale). C’est le
pourcentage (en valeur décimale) de variation de
la valeur. Il suffit de multiplier par 100 pour obtenir
le pourcentage (en %).
Exemple : un objet rare coûte 100 000 €. Chaque fois que l’on achète l’un de ces objets, il augmente du dixième de sa valeur précédente. Les calculs étant établis en centaines de milliers d’euros, combien faut-il dépenser pour en acheter 8 ?
Prix du premier objet 1, pour chaque nouvel achat il faut dépenser 10 % en plus, c'est-à-dire multiplier le prix précédent par q = 1,1 (le coefficient multiplicateur).
On cherche la somme
(en centaines de milliers
d’euros).
1 est le nombre
Sn tel que : 
car : 
Exemple : Pour creuser un puit, un puisatier demande 20 € pour le premier mètre, 22 € pour le deuxième, 24,20 € pour le 3ème, et pour chaque mètre creusé supplémentaire, 10 % de plus que pour le précédent.
À combien revient le creusement d’un forage de 80 mètres ? Attention, il faut additionner chacun des prix par nouveau mètre creusé.
C’est une suite géométrique, u1 = 20 et q = 1,1.
On remarquera que la suite commence avec u1 et non u0. Le deuxième mètre c’est u2, ce qui est plus pratique pour la compréhension du problème.
Remarques
• Si la suite commence par u1, la formule précédente devient
• Si q = 1, la suite est constante et
.
.
On comprend que multiplier un nombre positif par un nombre strictement compris entre 0 et 1 c’est obtenir un nombre plus petit. Et le faire de nombreuses fois c’est se rapprocher de 0.
quand n tend vers
l’infini : 
.
On comprend que multiplier un nombre positif par un nombre strictement supérieur à 1 c’est obtenir un nombre plus grand. Le faire de nombreuses fois c’est obtenir un très grand nombre.
.
En exemple, on peut remarquer que dans l’exercice précédent, les sommes payées deviennent de plus en plus grandes (car 1 < q). Cette somme devient rapidement infiniment plus élevée que les moyens que l’on peut accorder pour un particulier, une société, une commune ou un état (à 162 mètres, on dépasse le milliard d’euro !).
Dans combien de temps s’arrêtera la fabrication de cet objet ?
97 % du nombre d’objets vendus l’année précédente, sont vendus chaque nouvelle année.
Soit u0 le nombre d’objets vendus cette année. Le coefficient multiplicateur est k = 0,97.
On a u1 = 0,97u0, puis u2 = 0,972u0, et un = (0,97n)u0.
On cherche le plus petit entier n tel que
, c’est-à-dire
.On pourrait essayer de trouver le résultat par tâtonnement. Il est préférable de construire un petit programme sur calculatrice :
|
Algorithme : Variables : I un entier (compteur) Début Initialiser I par 0 Répéter Incrémenter I Jusqu’à ce que 0,97n  1/2Afficher I Fin |
Cet algorithme comporte une boucle itérative et conditionnelle. | |
| TI-82 stat (83-84) | Casio Graph 35+ |
TI-Nspire CAS |
|
|
|
Remarques
• Une fois l’algorithme traduit en programme sur la calculatrice, il est facile de le transformer pour obtenir un autre seuil, d’utiliser un autre taux de pourcentage. Par exemple, pour un taux de 1 % on trouvera 69 périodes.
• Il est très simple de rajouter quelques instructions pour que le seuil et le taux soient demandés dans l’exécution du programme.
• La boucle à utiliser est la boucle « répéter ». Sur la Graph35+ cette instruction n’existe pas, on utilise alors, avec un petit changement, la boucle « tant que ». De même sur la TI-Nspire CAS, cette boucle existe en LUA à partir du logiciel ordinateur. Sur la calculatrice on utilise aussi la boucle « tant que ».
.
Remarque : pour le baccalauréat, si on nous donne une suite (Un), il est préférable de passer à une suite géométrique. Après quelques calculs on obtient des résultats sur la suite arithmético-géométrique.
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