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Suites et inégalités

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Objectif

Établir la convergence ou la divergence d’une suite vers .

Points clés

Soit (u_n) et (v_n) deux suites et soit n et p deux entiers naturels. On dit que la suite (u_n) est majorée par la suite (v_n) si u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≤ v_n. On dit que la suite (v_n) est minorée par la suite (u_n) si u_n ≥ v_n à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≥ v_n.
On dit que la suite (u_n) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que u_n ≤ M pour tout entier n. On dit que la suite (u_n) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que u_n ≥ m pour tout entier n. On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Théorème des convergences : Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente.
Soit (u_n) et (v_n) deux suites convergentes telles que u_n ≤ v_nà partir d'un certain rang, alors .
Théorème des gendarmes : Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes telles que v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang et l un réel. Si alors .
Soit (u_n) et (v_n) deux suites telles que u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang. Si , alors . Si , alors .

1. Comparaison et suites numériques

a. Comparaison de deux suites

Soit (u_n) et (v_n) deux suites numériques et soit n et p deux entiers naturels.

On dit que la suite (u_n) est majorée par la suite (v_n) si u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≤ v_n.
On dit que la suite (v_n) est minorée par la suite (u_n) si u_n ≥ v_n à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≥ v_n.

Exemple
La suite (u_n) est représentée en orange.
La suite (v_n) est représentée en violet.

À partir du rang 5, la suite (v_n) devient plus grande que la suite (u_n).
On peut dire que la suite (u_n) est majorée par la suite (v_n) et aussi que la suite (v_n) est minorée par la suite (u_n).

b. Suites majorées, suites minorées

Si on considère qu’une des deux suites est une suite constante, on aboutit aux définitions suivantes.

Soit (u_n) une suite numérique.

On dit que la suite (u_n) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que u_n ≤ M pour tout entier n.
On dit que la suite (u_n) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que u_n ≥ m pour tout entier n.
On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Autrement dit, une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre donné. Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont supérieurs à un nombre donné.

Exemples
Soit (u_n) et (v_n) deux suites définies par

, avec n entier naturel, et

, avec n entier naturel non nul.

u_n ≤ 4
Donc la suite (u_n) est majorée par 4.

v_n ≥ 2
Donc la suite (v_n) est minorée par 2.

c. Théorème des convergences

On donne une représentation graphique d’une suite majorée par 5 et croissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On donne une représentation graphique d’une suite minorée par 1 et décroissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On admet alors le théorème suivant qu’on appelle théorème des convergences.

Théorème des convergences
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Exemple
Soit (u_n) la suite définie par u_n = 0,9ⁿ.
Cette suite est positive, donc minorée par 0.
De plus, cette suite est décroissante car :
0,9 < 1
0,9 × 0,9ⁿ < 1 × 0,9ⁿ
0,9ⁿ⁺¹ < 0,9ⁿ
u_n + 1 < u_n
Donc cette suite est décroissante et minorée. On en déduit, d’après le théorème des convergences, que la suite (u_n) est convergente.

2. Comparaisons et limites de suites

a. Inégalités et limites

Propriété
Soit (u_n) et (v_n) deux suites convergentes telles que u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang, alors

Autrement dit, le passage à la limite ne change pas le sens d’une inégalité.

Exemple
Soit (u_n) une suite convergente telle que

, pour tout n entier naturel non nul.
On veut donner un encadrement de la limite de la suite (u_n).

donc

b. Théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes
Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes telles que v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang et l un réel.
Si

alors

Démonstration

Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes et l un réel. (v_n) et (w_n) admettent la même limite l et v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang.

Le passage aux limites ne change pas le sens des inégalités :

est comprise entre deux nombres égaux à l, donc .

Exemple
On veut calculer

.
–1 ≤ (–1)ⁿ ≤ 1

Ces deux limites sont égales, donc, d’après le théorème des gendarmes,

c. Comparaison et suites divergentes

Théorème
Soit (u_n) et (v_n) deux suites telles que u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang.

Si , alors .
Si , alors .

Exemple
Soit (u_n) une suite telle que n²≤ u_n pour tout entier naturel n.

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