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Suites arithmétiques

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Sommaire : Définition - Représentation graphique - Calcul du terme de rang n - Sens de variation - Suite arithmétique et variation absolue

1. Définition

Exemple :
Soit la suite de nombres U₀ = − 5 ; U₁ = − 2 ; U₂ = 1 ; U₃ = 4 ; U₄ = 7 ; U₅ = 10...
On remarque que l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :
U_n+1 = U_n + 3 avec U₀ = − 5.

Définition :
Une suite arithmétique est une suite où l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison.

On écrit U_n+1 = U_n + r

Exemple :
Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique de raison – 4 et de premier terme U₀ = 2.

U₁ = U₀ − 4 = 2 − 4 = −2,
U₂ = U₁ − 4 = −2 − 4 = −6,
U₂ = U₁ − 4 = −6 −4 = −10...

2. Terme de rang n d'une suite arithmétique

Par définition, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r (raison).

U_n = U_n-1 + 1r,

U_n-1 = U_n-2 + 1r donc U_n = U_n-2 + 2r,

U_n-2 = U_n-3 + 1r donc U_n = U_n-3 + 3r,

...

U₁ = U₀ + 1r donc U_n = U_n-n + nr = U₀ + nr.

Terme de rang n :

Si une suite (U_n) est arithmétique de raison r et de premier terme U₀, alors U_n = U₀ + nr.

Exemples :

La suite arithmétique de premier terme U₀ = 100 et de raison 50 peut s’écrire de manière explicite :
U_n = 100 + 50n
Soit une somme de 2 000€ placé à intérêts simples de 4%.
Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.

3. Sens de variation d'une suite arithmétique

D’après la définition du sens de variation d’une suite, celui d’une suite arithmétique va dépendre du signe de sa raison r :

Si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante,
Si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante,
Si r = 0 alors la suite arithmétique est constante.

Exemple :

Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle est croissante :
U₀ = 1 ; U₁ = 5 ; U₂ = 9 ; U₃ = 13…
Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle est décroissante :
U₀ = 4 ; U₁ = − 1 ; U₂ = − 6 ; U₃ = − 11…

4. Représentation graphique d'une suite arithmétique

Soit (U_n)une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U₀ = 1.
U₁ = 4 ; U₂ = 7 ; U₃ = 10 ; U₄ = 13…

Propriété :
Tous les points d’une suite arithmétique sont alignés : on parle d’une croissance linéaire.

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