Fiche de cours

Suite arithmétique - croissance linéaire

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Objectif(s)

Définition - Représentation graphique - Calcul du terme de rang n - Sens de variation - Suite arithmétique et variation absolue

1. Définition

Exemple
Soit la suite de nombres U₀ = − 5 ; U₁ = − 2 ; U₂ = 1 ; U₃ = 4 ; U₄ = 7 ; U₅ = 10...
On remarque que l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :
U_n+1 = U_n + 3 avec U₀ = − 5.

Définition
Une suite arithmétique est une suite où l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison.

On écrit : U_n+1 = U_n + r.

Exemple
Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique de raison – 4 et de premier terme U₀ = 2.

U₁ = U₀ − 4 = 2 − 4 = −2 ;
U₂ = U₁ − 4 = −2 − 4 = −6 ;
U₃ = U₂ − 4 = −6 −4 = −10...

2. Terme de rang n d'une suite arithmétique

Par définition, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r (raison).

U_n = U_n-1 + r ;

U_n-1 = U_n-2 + 1r donc U_n = U_n-2 + r ;

U_n-2 = U_n-3 + 1r donc U_n = U_n-3 + r ;

...

U₁ = U₀ + 1r donc U_n = U_n-n + nr = U₀ + nr.

Terme de rang n
Si une suite (U_n) est arithmétique de raison r et de premier terme U₀, alors U_n = U₀ + nr.

Exemples
• La suite arithmétique de premier terme U₀ = 100 et de raison 50 peut s’écrire de manière explicite : U_n = 100 + 50n.
• Soit une somme de 2 000€ placé à intérêts simples de 4 %. Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.

Les intérêts simples sont de :

€.
Si U₀ est la somme initiale alors la somme obtenue au bout d'un an est :
U₁ = U₀ + 80 = 2 080.

Au bout de 2 ans : U₂ = U1 + 80 = 2 160.
Au bout de 3 ans : U₃ = U₂ + 80 = 2 160 + 80 = 2 240...

(U_n) est une suite arithmétique de raison 80 donc U_n = U₀ + 80n = 2 000 + 80n.
Au bout de 10 ans, U₁₀ = 2 000 + 80X10 = 2 800 €.

3. Sens de variation d'une suite arithmétique

D’après la définition du sens de variation d’une suite, celui d’une suite arithmétique va dépendre du signe de sa raison r :
• Si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante,
• Si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante,
• Si r = 0 alors la suite arithmétique est constante.

Exemple
• Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle est croissante :
U₀ = 1 ; U₁ = 5 ; U₂ = 9 ; U₃ = 13…

• Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle est décroissante :
U₀ = 4 ; U₁ = − 1 ; U₂ = − 6 ; U₃ = − 11…

4. Représentation graphique d'une suite arithmétique

Soit (U_n)une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U₀ = 1.

U₁ = 4 ; U₂ = 7 ; U₃ = 10 ; U₄ = 13…

Propriété
Tous les points d’une suite arithmétique sont alignés : on parle d’une croissance linéaire.

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