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Somme et produit des racines d'un polynôme de degré 2

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Objectifs

Connaitre l'expression de la somme et du produit des racines d'un polynôme.
Savoir utiliser la somme et le produit des racines d’un polynôme pour obtenir la forme factorisée ou la forme développée.

Points clés

Les racines peuvent souvent être trouvées grâce aux coefficients de la forme développée.
La forme développée d’un polynôme s’obtient facilement grâce à la somme et au produit de ses racines.

Pour bien comprendre

Savoir ce qu’est un polynôme de degré 2
Savoir ce qu’est une racine d’un polynôme de degré 2

1. Somme et produit des racines

a. Rappels

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur

par

où

sont des réels donnés et

On dit qu’un réel

est racine d’une fonction polynôme

lorsque

Si une fonction polynôme de degré deux possède 2 racines et , alors il existe un réel tel que se factorise sous la forme .

b. Expression de la somme et du produit des racines

On note :

la somme de ses racines ;
le produit de ses racines.

On peut montrer que et , et on peut écrire que .

Démonstration
Développons :

On identifie alors les coefficients avec ceux de :
d’où
et d’où .

2. Utilisations

a. Obtenir l'expression développée

Il existe une infinité de fonctions polynômes de degré deux ayant pour racines et puisque leur forme factorisée sera du type avec .

Si on connait les racines et d’une fonction polynôme, alors on peut calculer et et obtenir la forme intermédiaire : .

La valeur de s'obtient grâce à une information supplémentaire fournie par l'énoncé ou à prendre sur une représentation graphique.

Méthode

On utilise les racines et pour déterminer les valeurs de et et obtenir la forme intermédiaire .
On utilise l'information supplémentaire pour déterminer .
On écrit la forme développée de .

Exemple
Donner l'expression développée de

sachant que

a pour racines 2 et 5 et que

On calcule et pour obtenir la forme générale de :
et . Ainsi est du type .
On exploite l'information :
puisque alors . Or donc et .
On produit la forme développée finale :
comme alors .

b. Obtenir l'expression factorisée

À l'inverse, à partir de la forme développée d'une fonction polynôme de degré deux, on peut trouver ses racines éventuelles et :

Si la fonction polynôme est du type (sans coefficient devant le terme en ), alors est l'opposé de la somme des racines, et est le produit des racines.
Si la fonction polynôme est du type avec , alors on force la factorisation de par : et ainsi est l'opposé de la somme des racines et est le produit des racines.

On peut alors souvent, avec intuition, deviner quelles nombres ont pour produit et somme pour identifier les racines.

Méthode

On factorise la fonction polynôme par si .
On identifie la somme des racines et leur produit en analysant le terme constant et l'opposé du coefficient du terme en .
On essaie, à l'intuition, de trouver deux nombres et , qui seront les racines cherchées, dont la somme vaut et le produit .
On factorise sous la forme .

Exemple
Donner l'expression factorisée de

sachant que

Ici a pour coefficient 2 donc on commence par factoriser par 2 : .
Dans la parenthèse, on voit que = 9 et = 20.
20 = 10 × 1 = 5 × 4. Les 2 racines cherchées sont donc soit 10 et 1, soit 5 et 4.
On calcule la somme dans les deux cas : 10 + 1 = 11 et 5 + 4 = 9.
On sait que = 9, on en déduit donc que les racines de la fonction polynôme sont 4 et 5.
On peut alors factoriser : .

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