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Somme des termes d'une suite géométrique- Terminale- Mathématiques

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Objectifs

Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
Découvrir la notation Σ.

Points clés

(avec ).
La somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison est égale à :

Pour bien comprendre

Notion de suite
Suite géométrique
Terme général d'une suite
Puissances d'un nombre

1. Rappels sur les suites géometriques

Définition
On dit qu'une suite

est géométrique s'il existe un réel

non nul tel que pour tout

on ait

. Le réel

s'appelle la raison de la suite.

Exemple
La suite définie par

avec

est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1, 2, 4, 8, 16…

Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient de 2 termes consécutifs quelconques est constant quel que soit .

Propriété
Le terme général d'une suite géométrique

peut s'exprimer directement en fonction de

avec

quel que soit

Il est ainsi possible, connaissant ou et , de calculer n’importe quel terme de la suite.

Exemple
Pour une suite géométrique de raison (–0,3) et de premier terme

, on peut écrire

et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple,

2. Somme des puissances d'un réel q

Propriété

pour

Exemple

3. Somme de termes consécutifs d'une suite géometrique

Propriété
La somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison

est égale à :

Application 1

Soit
Le premier terme de la somme est u_0. Le nombre de terme de la somme est n+1.
Donc
Notation :

Exemple 1
On considère la suite géométrique (u_n) de raison 1,2 et de premier terme u₀ = 4.
Calculer la somme S = u₃ + u₄ + ... + u₁₅.
L'expression de u_n en fonction de n est

.
Ainsi, la somme S s'écrit

En factorisant par 4 × (1,2)³on obtient :

Application 2

Soit
Le premier terme de la somme est u_1. Le nombre de terme de la somme est n.
Donc

Notation :

Exemple 2
On considère la suite géométrique (u_n) de raison 0,9 et de premier terme u₁ = 10.
On veut calculer la somme

.
Le premier terme est u₁= 10. Les termes vont de u₁ à u₁₅ donc il y a 15 termes dans la somme.
On utilise la formule :

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