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Somme de deux vecteurs

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Objectifs :

Les vecteurs sont des objets géométriques qui nous permettent de définir les translations. Dans cette fiche, nous allons continuer notre étude des vecteurs.
- Que signifie additionner des vecteurs ?
- Comment construire géométriquement cette somme ?
- Comment définir le milieu d'un segment avec des vecteurs ?
- A quoi correspond la relation de Chasles ?
Tels sont les thèmes que nous allons aborder.

1. Somme de deux vecteurs

Sur le dessin ci-dessous, on enchaîne une translation de vecteur

qui transforme le triangle ABC en le triangle A₁B₁C₁ et une translation de vecteur

qui transforme le triangle A₁B₁C₁ en le triangle A₂B₂C₂.

On peut constater que l’on peut passer directement du triangle ABC au triangle A₂B₂C₂ par une translation dont on notera le vecteur

D’où la propriété

L’enchaînement d’une translation de vecteur

et d’une translation de vecteur

est une translation de vecteur

. Ce vecteur

est appelé somme des vecteurs

Exemples
Construire dans chacun des cas suivants la somme des deux vecteurs.

Cas 1	Cas 2

Réponses

Cas 1	Cas 2
Pour retrouver la situation géométrique précédente, on peut prendre le représentant qui a pour origine l’extrémité de Puis on effectue la construction du vecteur	Comme au cas 1, on peut prendre le représentant de qui a pour origine B. Puis on construit le vecteur somme nommé

2. Relation de Chasles

Relation de Chasles

Quels que soient les points A, B et C du plan on a :

Exemple : Simplifier l’expression suivante.

3. Opposé d'un vecteur

Définition

Si un vecteur

et un vecteur

ont la même direction, la même longueur et des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on note :

Exemple : Sur le dessin suivant, citer des vecteurs opposés.

AEFG est un parallélogramme

Réponse
Les vecteurs

sont opposés et on peut écrire

Les vecteurs

sont opposés et on peut écrire

4. Milieu d'un segment

Propriété

Si I est le milieu du segment [AB], on peut écrire :

Propriété réciproque

Si

alors I est le milieu du segment [AB].

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