Simplification de l'expression logique à l'aide des règles de l'algèbre booléenne

L'étude sur l'écriture de l'expression d'une fonction logique combinatoire, vous permet d'apprendre à écrire l'expression d'une fonction logique à partir de sa table de vérité.

Cette écriture peut être sous deux formes : la forme "somme de produits" et la forme "produit de sommes".

Cependant, pour les réalisations pratiques, il faut penser à simplifier ces expressions pour réduire le coût du matériel et le temps de câblage. La première technique de simplification que vous allez aborder dans cette étude est la simplification à l'aide des règles de l'algèbre booléenne.

Après avoir effectué un rappel sur les règles de base de l'algèbre booléenne présentées dans l'étude sur la logique booléenne, vous apprendrez deux nouvelles lois. Ce sont les lois de De Morgan et les lois de l'absorption et de l'adjacence logiques. Elles sont très utiles pour la simplification algébrique. Vous maîtriserez ensuite la simplification algébrique à l'aide de plusieurs exemples.

L'étude sur la logique booléenne, vous permet d'apprendre que l'algèbre booléenne dispose d'un ensemble de règles de base. Ces règles sont :

• les postulats,
• les théorèmes pour une seule variable,
• les lois pour plusieurs variables.

D'ailleurs, vous avez vérifié certains théorèmes pour une seule variable dans les exercices pratiques de l'étude sur la logique booléenne. Cet ensemble de règles de base est très utile dans la simplification algébrique. C'est pour cette raison que l'ensemble de ces règles est repris sous la forme du tableau récapitulatif de la figure suivante.

Tableau récapitulatif des postulats, théorèmes et lois de l'algèbre booléenne :

Postulats
(2) 0 + 0 = 0	(7) 0 · 0 = 0
(3) 0 + 1 = 1	(8) 0 · 1 = 0
(4) 1 + 0 = 1	(9) 1 · 0 = 0
(5) 1 + 1 = 1	(10) 1 · 1 = 1
Théorèmes pour une seule variable
(11) a + 1 = 1	(15) a · 1 = a
(12) a + 0 = a	(16) a · 0 = 0
(13) a + a = a	(17) a · a = a
Lois pour plusieurs variables
Loi de commutativité (ou loi d'échange)
(20) a + b = b + a	(21) a · b = b · a
Loi d'associativité (ou loi de liaison)
(22) a + (b + c) = (a + b) + c	(23) a · (b · c) = (a · b) · c
Loi de distributivité (ou loi de répartition)
(24) (a + b) · (b + c) = (a · b) + (a · c) + (b · b) + (b · c)	(25) a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

Les lois de De Morgan sont des règles qui définissent la négation d'une somme logique et la négation d'un produit logique telles que les montre le tableau de la figure suivante.

Lois de Morgan

La loi (26) stipule que la négation d'une addition logique de deux variables booléennes a et b peut être transformée en un produit de la négation de chacune des variables.

La loi (27) stipule que la négation d'un produit logique de deux variables a et b est équivalent à la somme logique de la négation des deux variables.

Ces deux lois sont applicables pour plus que deux variables.

En effet, pour trois variables, la loi (26) s'écrit : .

De même pour trois variables a, b et c, la loi (27) s'écrit : .

Le tableau de la figure suivante résume les lois d'absorption et de l'adjacence logiques.

La loi (28) stipule que si dans une expression, une variable est additionnée à un produit où elle y est présente, l'expression totale est réduite à cette variable. En d'autres mots, la sortie ne dépendra que de cette variable.

Lois de l'absorption et de l'adjacence logiques :

Lois d'absorption logique
(28) a + a · b = a	(29) a · (a + b) = a
Lois d'adjacence logique

De même, si une variable est multipliée par une addition où elle y est présente, la loi (29) stipule que la sortie d'une telle expression ne dépendra que de cette variable.

Les règles de l'adjacence et de l'absorption logiques permettent une simplification des expressions où une variable est présente ainsi que sa négation.

La loi (30) concerne une expression de la forme de la somme de deux produits. Le premier produit est a • b, alors que le deuxième est . La variable b est alors éliminée et l'expression est réduite à la variable a.

Dans la loi (31), on a une forme d'un produit de deux sommes. Dans la première somme, la variable a est additionnée à la variable b. Dans la deuxième somme, la même variable a est additionnée à . La variable b est éliminée et l'expression est réduite à a.

Vous avez assimilé les règles de De Morgan et les règles de l'absorption et de l'adjacence logiques.

Vous verrez l'utilisation de ces règles pour la simplification algébrique des expressions des fonctions logiques. Il faut garder à l'esprit que le but de cette simplification est de réduire les coûts en matériel et en temps de câblage des circuits logiques combinatoires.

Simplification algébrique. Exemple 1 :

Soit la fonction logique F à deux variables booléennes a et b et dont la table de vérité est donnée par le tableau de la figure suivante.

Table de vérité de l'exemple 1 :

L'expression de la fonction F peut s'écrire, sous la forme "S.O.P.", comme :

.

Le schéma logique correspondant à cette fonction est montré à la figure 3.51. La réalisation pratique de ce circuit en pneumatique nécessite deux cellules "NON", deux cellules "ET" et une cellule "OU".

Il faut simplifier cette expression. A l'aide de la loi (30) de l'adjacence logique, F peut s'écrire comme F = . La fonction F est en fin de compte égale à a inversé. La réalisation pratique ne nécessite alors qu'une cellule "NON", d'ou le schéma de la figure suivante.

Schéma logique de l'exemple 1 :

Simplification algébrique. Exemple 2 :

Soit la fonction logique F à trois variables booléennes a, b et c. Sa table de vérité est donnée par le tableau de la figure suivante.

Table de vérité de l'exemple 2 :

Sous la forme "S.O.P.", la fonction F peut s'écrire directement à partir de sa table de vérité.

F = m₀ + m₁ + m₃ + m_4.

Ou encore : .

Si on regroupe les termes m₀ et m₄ ensemble en considérant comme une seule variable, on obtient :

.

Si on applique les lois d'associativité, on peut écrire : .

A l'aide de la loi de l'adjacence logique, on peut alors écrire : .

Maintenant, on peut regrouper les minterms m₁ et m₃ de la façon suivante : .

A l'aide de lois d'associativité, on peut écrire : .

En appliquant la loi (30) de l'adjacence logique avec comme une seule variable, on obtient : .

L'expression totale simplifiée s'écrit alors : F = (m₀ + m₄) + (m₁ + m₃).

Ce qui donne : )

Vous remarquez sans doute que l'expression simplifiée est moins complexe que l'expression initiale.

Simplification algébrique. Exemple 3 :

Soit la fonction F à trois variables d'entrée et dont la table de vérité est donnée par le tableau de la figure suivante.

Table de vérité de l'exemple 3 :

A la lecture de la table de vérité, on peut écrire l'expression de la fonction F sous la forme de "somme de produits" de la façon suivante : F = m₀ + m₃ + m₄ + m₅ + m₇.

Donc : .

On est ici en présence de cinq minterms, les minterms m₀ et m₄ et peuvent être groupés ensemble pour faire une simplification partielle. Les minterms m₃ et m₇ peuvent être groupés ensemble et . De plus le mintern m₅ peut être groupé avec le minterm m₇ et .

C'est pourquoi, on utilise le théorème (13) qui dit que a + a = a, c'est-à-dire qu'une variable additionnée à elle-même est encore égale à elle-même, pour ajouter le terme m₇ à l'expression de la fonction F sans modifier la valeur de cette fonction.

F s'écrit alors : F = m₀ + m₃ + m₄ + m₅ + m₇ + m₇.

On groupe les termes à simplifier par la loi de l'adjacence logique.

F = (m₀ + m₄) + (m₃ + m₇) + (m₅ + m₇), ce qui implique que : .

Les deux premiers termes se simplifient en .

Les troisième et quatrième termes en et les deux derniers termes en .

Ce qui fait que la fonction F s'écrit alors : .

Simplification algébrique. Exemple 4 :

Soit la fonction booléenne F à quatre variables a, b, c et d dont la table de vérité est donnée par le tableau de la figure suivante.

Table de vérité de l'exemple 4 :

A la lecture de la table de vérité, on peut écrire la valeur de la fonction sous la forme "S.O.P.", ce qui donne :

F = m₁ + m₂ + m₄ + m₆ + m₉.

Ou encore : .

On remarque que les minterms m₁ et m₉ ne diffèrent que d'une seule variable ; et .

De même, les minterms m₂ et m₆ ; et et les minterms m₄ et m₆ ; et . Donc, trois groupements sont possibles pour effectuer les simplifications. On a donc encore besoin d'ajouter le mintern m₆ dans l'expression de la fonction, ce qui donne : F = m₁ + m₂ + m₄ + m₆ + m₉ + m₆.

Ou : F = m₁ + m₉ + m₂ + m₆ + m₄ + m₆.

Le groupement m₁ + m₉ donne : , d'après la loi (30) de l'adjacence logique.

Le groupement m₂ + m₆ donne : , d'après la loi (30) de l'adjacence logique.

Le groupement m₄ + m₆ donne : , d'après la loi (30) de l'adjacence logique.

Donc, F s'écrit finalement :

A la suite de cette étude, vous devriez retenir plus particulièrement les points suivants :

- La simplification algébrique est basée sur la loi de l'adjacence logique. Cette loi stipule que deux termes sont adjacents logiques s'ils ne varient que d'une seule variable (directe dans un terme, complémentée dans l'autre). Cette variable est alors éliminée de l'expression de la fonction.

- La simplification d'une expression comprenant plus que deux termes se fait par des groupements de deux termes adjacents logiques et en effectuant les simplifications sur chaque groupement.

- Dans une expression de la forme "S.O.P.", un minterm peut être réécrit dans l'expression de la fonction pour permettre des groupements de deux minterms.

Dans cette étude vous avez vu les techniques de la simplification algébrique qui se base sur les règles de l'algèbre de boole et en particulier sur la loi de l'adjacence logique.

Une étude vous permet d'apprendre une autre méthode de simplification des expressions des fonctions logiques avec les tables de Karnaugh.