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Série statistique double et nuage de points

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Objectif(s)

Définir une série statistique double.
Représenter un nuage de points.
Représenter un nuage de points en effectuant un changement de variable pour faire apparaitre une relation de linéarité.

Points clés

Lorsqu'on étudie deux caractères statistiques sur une population donnée, on obtient une série statistique double. Les valeurs prises par cette série sont alors les couples (x₁ ; y₁), (x₂ ; y₂), ..., (x_n ; y_n).
L'ensemble des points M₁, M₂, ...., M_n de coordonnées respectives M₁(x₁ ; y₁), M₂(x₂ ; y₂),.., M_n(x_n ; y_n) dans un repère du plan est appelé nuage de points de la série.
Lorsque les points du nuage ne sont pas alignés, mais suivent plutôt la courbe d'une fonction de référence (parabole, courbe d'une fonction exponentielle, logarithme décimal, etc.), on réalise un changement de variable sur les valeurs de l'un des deux caractères de la série, en calculant de nouvelles valeurs pour ce caractère.

Dans tout ce qui suit, on se place dans le repère (O, (Ox), (Oy)).

1. Définition d'une série statistique double

Lorsqu'on étudie deux caractères statistiques sur une population donnée, on obtient une série statistique double.
On note souvent les valeurs prises par le premier caractère x₁, x₂, ....., x_n et celles prises par le second y₁, y₂, ....., y_n.
Les valeurs prises par cette série sont alors les couples (x₁ ; y₁), (x₂ ; y₂), .... ,(x_n ; y_n).

Exemple
En prévision du lancement d'un produit, une société a effectué une enquête auprès d'une population ciblée de potentiels clients pour fixer le prix de vente de ce produit. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Prix x_i de vente en euros	100	110	120	130	140	150	160
Nombre y_i d'acheteurs éventuels	105	95	75	68	53	46	31

Le premier caractère est le prix x_i de vente en euros, le second le nombre y_i d'acheteurs éventuels et les valeurs prises par cette série sont donc les couples : (100 ; 105), (110 ; 95), ....., (160 ; 31).

2. Nuage de points

L'ensemble des points M₁, M₂, ...., M_n de coordonnées respectives M₁(x₁ ; y₁), M₂(x₂ ; y₂), ...,
M_n(x_n ; y_n) dans un repère du plan est appelé nuage de points de la série.
On convient donc de représenter cette série graphiquement par son nuage de points associé.

Exemple
On peut représenter le nuage de points de la série de l'exemple précédent, en plaçant les points M₁(100 ; 105), M₂(110 ; 95), ....., M₇(160 ; 31) dans un repère aux unités graphiques adaptées à la situation.

Remarque
En pratique, dans les exercices d'entraînement au Baccalauréat, les unités graphiques sont imposées afin de faciliter le tracé.

3. Changement de variable sur un caractère

Remarque
En pratique, dans les exercices du Baccalauréat, les changements de variable sont indiqués dans l'énoncé afin de faciliter l'étude.

Les nuages de points aisés à étudier sont ceux où les points sont presque alignés.
Or, dans de nombreux cas, les points obtenus en dessinant directement le nuage ne le sont pas, mais suivent plutôt la courbe d'une fonction de référence (parabole, courbe d'une fonction exponentielle, logarithme décimal, etc.).
On réalise alors un changement de variable sur les valeurs de l'un des deux caractères de la série statistique double, en calculant de nouvelles valeurs pour ce caractère.
En représentant le nouveau nuage de points associé à la nouvelle série statistique ainsi calculée, on constate qu'on a « redressé » le nuage, qui propose alors des points presque alignés.
On peut alors utiliser une droite de régression linéaire.

Exemple
Dans le tableau suivant on a regroupé les valeurs mesurées y de la vitesse en m/s d'un bateau initialement à l'arrêt qui lance ses moteurs à pleine puissance, en fonction du temps écoulé (en s) depuis le départ du bateau.

x = temps (s)	5	12	20	26	30	35
y = vitesse (m/s)	0,13	0,71	2,03	3,15	4,55	6,7

Représentons ce nuage de points :

Les points obtenus ne sont pas alignés, mais semblent suivre la courbe d'une parabole de type
x → ax² avec a>0. On va procéder à un changement de variable en posant x'= x² et représenter le nuage correspondant à la série double (x'; y) :

x' = x²	25	144	400	676	900	1225
y = vitesse (m/s)	0,13	0,71	2,03	3,15	4,55	6,7

Grâce au changement de variable, on obtient bien un nuage de points à peu près alignés.
La droite de régression figurant sur le graphique a pour équation y=0,005349x-0,120607 en arrondissant a et b au millionième.

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