Fiche de cours

Sens de variation d'une suite

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Objectif
  • Découvrir la notion de sens de variation pour les suites.
  • Étudier le sens de variation d'une suite.
Points clés
  • Une suite est croissante sur  lorsque   pour tout n.
  • Une suite est décroissante sur  lorsque   pour tout n.
  • Il y a 3 méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite :
    • On étudie le signe de .
    • Lorsque , on étudie le sens de variation de la fonction f.
    • Lorsque , on étudie la position du quotient par rapport à 1.
Pour bien comprendre
  • Suites arithmétiques
  • Suites géométriques
  • Dérivée et sens de variation d'une fonction
1. Monotonie d'une suite
a. Définition
Soit (un) une suite définie sur .
Dire que (un) est croissante sur signifie que pour tout n, .
Dire que (un) est décroissante sur signifie que pour tout n, .
Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante : elle vérifie pour tout n.
Remarques
  • Si la suite est définie à partir d’un certain rang p , on dira qu’elle est croissante (respectivement décroissante) lorsque (respectivement ) .
  • Il se peut que la suite soit croissante (ou décroissante) à partir d’un certain rang uniquement.
  • Une suite peut être ni croissante, ni décroissante ; par exemple, . Les termes de cette suite sont alternativement 1, –1, 1, –1...

Étudier la monotonie d’une suite, c’est dire si la suite est croissante, décroissante, ou ni l’un ni l’autre.

b. Cas particuliers
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est croissante lorsque
Une suite arithmétique est décroissante lorsque
Exemple
La suite (un) définie par avec u0 = 1 est une suite arithmétique de raison r = –3 donc décroissante sur .

Suites géométriques
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 positif de raison q.
(un) est croissante lorsque
(un) est décroissante lorsque .
Exemple
La suite (un) définie par avec u0 = 4 est une suite géométrique de raison avec u0 > 0.
Comme , la suite (un) est décroissante sur .
Remarques :
  • Si u0 < 0, les variations sont inversées.
  • Lorsque q < 0 (avec u0 > 0 ou u0 < 0) les termes changent alternativement de signe donc la suite n'est ni croissante ni décroissante.
2. Étudier le sens de variation d'une suite
a. Méthodes
Méthode générale : on étudie le signe de .

Si alors la suite (un) est croissante sur .
Si alors la suite (un) est décroissante sur .


Cas où un = f(n)

Soit f une fonction définie sur un intervalle du type et (un) la suite définie par un = f(n).
Si f croissante sur alors (un) est croissante sur .
Si f décroissante sur alors (un) est décroissante sur .


Méthode du quotient

Lorsque les termes de la suite (un) sont strictement positifs, on compare le quotient par rapport à 1.

Si alors la suite (un) est croissante sur .

Si alors la suite (un) est décroissante sur .

b. Exemples d'applications
Soit la suite (un) définie par .
Étant donné que où , étudions les variations de f sur .
f est dérivable sur et .
Comme alors sur donc f est croissante sur et (un) est croissante
sur .
Soit la suite (vn) définie par et v0 = 1.
car  donc la suite (vn) est croissante sur .
Soit la suite (wn) définie par .
Comme on peut appliquer la méthode du quotient.

Ainsi, on peut conclure que (wn) est une suite décroissante sur .

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