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Sections planes : cône et pyramide

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Objectifs

Lorsqu'un plan coupe un solide, il laisse une trace sur celui-ci appelée section plane de ce solide.
Quelles sont les positions relatives des plans et des droites dans l'espace ? Quelles sont les différentes sections planes de cônes de révolution et de pyramides ?

1. Positions relatives de plans et de droites dans l'espace

Exemple
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Le plan P contient la face du dessus, le plan P’ la face du dessous et le plan P’’ la face de devant.

Position relative de deux plans
• Deux plans sont parallèles s’ils ne possèdent pas de point d’intersection.
Les plans P et P’ sont parallèles.
• Deux plans sont confondus si tous les points de l’un sont dans l’autre.
• Deux plans sont sécants s’ils possèdent une intersection. Dans ce cas, leur intersection est une droite.
Les plans P et P’’ sont sécants. Leur intersection est la droite (AD).

Position relative d’un plan et d’une droite
• Un plan et une droite sont parallèles s’ils ne possèdent pas de point d’intersection.
Le plan P’ et la droite (AC) sont parallèles.
• Un plan et une droite sont confondus si tous les points de la droite sont dans le plan.
Le plan ABC et la droite (AC) sont confondus.
• Un plan et une droite sont sécants s’ils possèdent une intersection. Dans ce cas, leur intersection est un point.
La droite (d) et le plan P sont sécants et leur intersection est le point I.

2. section plane d'un solide

La section plane d’un solide est la surface obtenue lors d’une coupe de ce solide par un plan.

a. Cône de révolution

La section plane d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque. Ce disque est une réduction du disque de base.

Exemple
Soit le cône de révolution d’axe (SO) et de rayon de base OP (voir figure ci-contre).
P est un plan parallèle à la base. La section obtenue alors est un disque de centre A et de rayon AB. Le coefficient de proportionnalité est alors défini par le rapport :

.
Ce rapport est inférieur à 1 car c’est une réduction.

b. Pyramide

La section plane d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone. Ce polygone est une réduction du polygone de base.


SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD. P est un plan parallèle à la base. La section obtenue est ainsi un carré, réduction du carré ABCD. Le rapport de réduction est .		SABC est une pyramide à base triangulaire ABC. P est un plan parallèle à la base. La section obtenue est ainsi un triangle, réduction du triangle ABC. Le rapport de réduction est .

Remarque : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l’aire d’une surface est multipliée par k², et le volume d’un solide est multiplié par k³.

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