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Résoudre une équation du second degré - terminale

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Résoudre une équation du second degré

Objectif

Résoudre une équation qui peut s’écrire sous la forme ax² + bx + c = 0.

Points clés

Une solution d'une équation est un nombre qui rend l'égalité vraie lorsqu'on remplace x par ce nombre.
Une équation du second degré possède 0, 1 ou 2 solutions réelles.
Pour résoudre une équation du second degré, on se ramène à une égalité du type f(x) = 0 où f est une fonction polynôme du second degré.

Pour bien comprendre

Solution d'une équation, ensemble de solutions
Règle du produit nul
Racine d'un polynôme
Discriminant d'une fonction polynôme de degré deux
Savoir factoriser un polynôme de degré deux

1. L'équation du second degré

a. Définition

Une équation du second degré est une équation du type suivant.

ax² + bx + c = 0

avec :

a, b et c des réels
a ≠ 0
x l'inconnue

C’est un polynôme du second degré, tel que le plus fort exposant de l’inconnue x est 2.

Exemples

4x² + 3x + 7 = 0 est une équation du second degré.
4x² + 3x + 7 = 2 est aussi une équation du second degré car elle s’écrit sous la forme 4x² + 3x + 5 = 0 en faisant passer le 2 du côté gauche de cette équation.

b. Solution des équations du second degré

Résoudre l’équation ax² + bx + c = 0, c’est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles ax² + bx + c = 0.Les solutions de l’équation ax² + bx + c = 0 sont les racines de la fonction polynôme f(x) = ax² + bx + c.

Méthode

Il faut suivre les étapes suivantes pour résoudre une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0.

Établir l’équation du polynôme. On se ramène, si ce n'est pas le cas, à une équation du type ax² + bx + c = 0 en passant tous les termes du même côté du signe =. On identifie les termes a, b et c.
Calculer le discriminant Δ (delta) du polynôme. On calcule le discriminant Δ = b² – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax² + bx + c.
Étudier le signe du discriminant Δ.
- Si Δ < 0, alors cette équation n’admet pas de solutions réelles.
- Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
- Si Δ > 0, alors cette équation admet deux solutions distinctes : et .
Calculer la (ou les) solutions.
- Si le polynôme n’admet qu’une solution, alors il faut calculer :
- Si le polynôme admet deux solutions, alors il faut calculer :
  et

Preuve

L’équation du second degré ax² + bx + c = 0 est associée à la fonction f(x) = ax² + bx + c. On cherche à l’écrire sous forme factorisée (forme canonique). En factorisant cette fonction, on obtient : f(x) = a(x – α)² + β avec

. On peut ainsi écrire cette fonction :

. Résoudre ax² + bx + c = 0 revient donc à résoudre

(a étant non nul). Ce qui nous amène à résoudre

en posant Δ = b² – 4ac. On a les cas suivants.

si Δ < 0 : alors on aurait ce qui est impossible car le carré d'un nombre est toujours positif. → L'équation proposée n'a donc pas de solution réelle.
si Δ = 0 : alors on a , donc , d’où . → Cette solution unique est appelée racine double de l'équation.
si Δ > 0 : alors on a et on obtient deux solutions.
- d'où
- d’où

c. Autre méthode de résolution

Il n’est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant Δ.

On peut aussi chercher une racine évidente de l’équation du second degré en factorisant le polynôme.

Exemples

Résoudre x² – 1 = 0 revient à résoudre x² = 1 soit x = –1 ou x = 1.
Résoudre x² – 2x = 0 revient à résoudre x(x – 2) = 0 soit x = 0 ou x = 2.

2. Exemples de résolution

Exemple 1 – Résoudre

l’équation –4x² – 3x + 10 = 0.

On reconnait ici une équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a = –4, b = –3 et c = 10.
On calcule le discriminant de ce polynôme : Δ = b² – 4ac = (–3)² –4 × (–4) × 10 = 169.
Comme Δ > 0 alors cette équation admet deux solutions.
On calcule ces solutions :

Les deux solutions de cette équation sont donc –2 et

Exemple 2 – Résoudre

l’équation 5x² – 2x + 5 = –4x + 2.

Il faut tout d’abord obtenir une équation du type ax² + bx + c = 0 en transposant les termes de l’équation de droite vers la gauche : 5x² – 2x + 5 = – 4x + 2 devient 5x² + 2x + 3 = 0.
On a donc a = 5, b = 2 et c = 3.
On calcule le discriminant de ce polynôme : Δ = b² – 4ac = 2² – 4 × 5 × 3 = –56.
Le discriminant Δ est négatif donc cette solution n’admet pas de solution.

Cette équation n’admet pas de solution.

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