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Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation- Seconde- Mathématiques

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Objectif

Résoudre, graphiquement ou à l’aide d’un outil numérique, une équation ou une inéquation du type , .

Points clés
  • Résoudre graphiquement l’équation , c'est déterminer les abscisses des points d’intersection des courbes et .
  • Résoudre graphiquement une inéquation du type , c’est déterminer les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de la courbe .
1. Résolution graphique d'une équation

On considère deux fonctions et définies sur un intervalle  ; et sont leurs courbes représentatives dans un repère.

Résoudre graphiquement l’équation , c’est déterminer les abscisses des points d’intersection des courbes et .
Exemple 1
On considère deux fonctions et définies sur l’intervalle , dont les courbes représentatives, en bleu et en rouge, sont tracées sur le graphique ci-dessous :

Les courbes ont deux points d’intersection.
Résoudre l’équation revient à déterminer les abscisses de ces deux points d’intersection. On peut lire et .
On note : .
Exemple 2
On considère deux fonctions et définies sur l’intervalle , dont les courbes représentatives, en bleu et en rouge, sont tracées sur le graphique ci-dessous :

Les courbes ont un seul point d’intersection.
Résoudre l’équation revient à déterminer l'abscisse de ce point d’intersection. On peut lire .
On note : .

2. Résolution graphique d'une inéquation
Résoudre graphiquement une inéquation du type , c’est déterminer les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de la courbe .

De la même manière :

  • Résoudre graphiquement l'inéquation , c’est déterminer les abscisses des points de la courbe  situés sur et en dessous de la courbe .
  • Résoudre graphiquement l'inéquation , c’est déterminer les abscisses des points de situés strictement au-dessus de .
  • Résoudre graphiquement l'inéquation , c’est déterminer les abscisses des points de la courbe situés sur et au-dessus de la courbe .
Exemple 1
On considère deux fonctions et définies sur l’intervalle , dont les courbes représentatives, en bleu et en rouge, sont tracées sur le graphique ci-dessous :

Résoudre l’inéquation revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de la courbe . On peut lire , car la courbe est en dessous de la courbe sur l'intervalle . Les crochets sont ouverts car l'inégalité est stricte (signe <).
Exemple 2
On considère deux fonctions et définies sur l’intervalle , dont les courbes représentatives, en bleu et en rouge, sont tracées sur le graphique ci-dessous :

Résoudre l’inéquation revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés sur ou en dessous de la courbe . On peut lire , car la courbe est en dessous de la courbe sur l'intervalle . Les crochets sont fermés car l'inégalité est large (signe ≤).
3. Résolution d'une équation ou d'une inéquation à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique
a. Résolution d'une équation
Exemple
On considère les fonctions et définies sur par : et .
Voici leurs deux courbes représentatives :

On souhaite déterminer graphiquement une valeur approchée des solutions de l'équation .
Méthode avec GeoGebra
  1. Les deux courbes sont tracées dans le repère. Dans l’icône « Point », on sélectionne « Intersection ».
  2. On obtient ainsi les points d’intersection des deux courbes et leurs coordonnées.
  3. On en déduit la valeur approchée de chacune des solutions de l’équation . Dans ce cas, et . Ce sont les abscisses des deux points d’intersection.
b. Résolution d'une inéquation
Exemple
Soit et les fonctions définies dans l'exemple précédent. On souhaite déterminer graphiquement l'ensemble de solutions de .
Méthode avec GeoGebra
  1. Les deux courbes sont tracées dans le repère. Dans l’icône « Point », on sélectionne « Intersection ».
  2. On obtient ainsi les points d’intersection des deux courbes et leurs coordonnées.
  3. On lit graphiquement les solutions l'ensemble des abscisses de points pour lesquels est située graphiquement au-dessus de . On obtient : .

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