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Résoudre des équations différentielles

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Objectifs

Résoudre des équations différentielles du type y' = ay + b avec a et b réels.
Résoudre des équations différentielles du type y' = ay + f avec a réel et f une fonction.

Points clés

Les solutions de l’équation différentielle y' = ay, a sont les fonctions de la forme x → Ce^ax, où C est une constante réelle quelconque.
La fonction x → est la solution particulière constante de l’équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels avec a ≠ 0.
Les solutions de l’équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels et a ≠ 0, sont donc de la forme : avec .

Pour bien comprendre

Déterminer la primitive d’une fonction.
Connaitre la fonction exponentielle.

1. Introduction

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.

On va apprendre à résoudre les équations différentielles du type suivant.

y' = ay
y' = ay + b
y' = ay + f

avec :

a et b des réels
y une fonction dérivable
y’ la dérivée de la fonction y
f une fonction dérivable

2. L'équation différentielle y' = ay

a. Solution générale de l'équation différentielle y' = ay

Les solutions de l’équation différentielle y' = ay avec , sont les fonctions de la forme suivante.

x → Ce^ax

avec :

C une constante réelle quelconque
e^ax la fonction exponentielle
a un réel
x l’inconnue

Démonstration
Soit la fonction f définie sur

par f(x) = Ce^ax, où C est un réel.

Alors f ’(x) = C × a × e^ax = a × C × e^ax = a f(x), donc f est bien solution de l’équation différentielle y' = ay.

Réciproquement, soit f une fonction définie et dérivable sur , solution de l’équation différentielle y' = ay. On définit la fonction g sur par g(x) = e^–ax f(x).

La fonction g est le produit de deux fonctions dérivables sur , elle est donc elle-même dérivable sur et on a :

g’(x) = –a e^–ax f(x) + e^–ax f ’(x)

Rappel
Soient deux fonctions u et v, alors (uv)’ = u’v +v’u.

Or f est solution de l’équation différentielle y’ = ay, on a donc f ’(x) = a f(x).

Ainsi :

g’(x) = –e^–ax af(x) + e^–ax f '(x)

g’(x) = –e^–axf ’(x) + e^–ax f ’(x)

g’(x) = 0

La fonction g est de dérivée nulle, c’est donc une fonction constante.

Ainsi g(x) = e^–ax f (x) = C, avec , d’où f(x) = Ce^ax.

b. Autres solutions de l'équation différentielle y' = ay

Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle y’ = ay, avec , alors f + g et kf (avec k une constante ) sont également solutions de l’équation différentielle.

Démonstration
Soient f et g deux solutions de l’équation différentielle y’ = ay. On a alors f ’ = af et g’ = ag.

Ainsi :

(f + g)’ = f ’ + g’ = af + ag = a (f + g)
(kf)’ = kf ’ = kaf = a(kf).

c. Exemple

On cherche les solutions de l’équation différentielle y’ = 2y.

Les solutions de ce type d’équation s’écrivent sous la forme f(x) = Ce²^x, avec C une constante qui appartient à .

On représente ci-dessous quelques exemples de solutions pour différentes valeurs de C.

Représentation des solutions f(x) = Ce²^x

La solution qui vérifie par exemple f(1) = 3 est telle que Ce² = 3 soit C = 3e^–². Cette solution s’écrit donc f(x) = 3e^–² × e²^x = 3e²⁽^x–¹⁾.

3. L'équation différentielle y' = ay + b

L’équation y’ = ay + b, avec a et b deux réels et a ≠ 0, est appelée équation linéaire du premier ordre à coefficients constants. Elle possède une solution simple, appelée solution particulière constante, ainsi qu’un ensemble de solutions.

a. Solution particulière constante

L’équation différentielle y’ = ay + b a une solution appelée solution particulière constante.

avec :

a et b deux réels
a ≠ 0

Démonstration
On cherche une solution de l’équation différentielle y’ = ay + b.

Soit la fonction g définie sur par avec a et b deux réels et a ≠ 0. On a alors g’(x) = 0.

Ainsi,

On a bien ag(x) + b = g’(x).

La fonction g est solution de l’équation différentielle y’ = ay + b.

b. Ensemble des solutions

Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b, où a et b sont deux réels et a ≠ 0, sont les fonctions de la forme suivante.

avec :

la solution particulière constante de l’équation y’ = ay + b
v(x) une solution quelconque de l'équation y’ = ay : v(x) = Ce^ax

Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b sont donc de la forme x → –

+ Ce^ax, avec

c. Exemple

On cherche les solutions de l’équation différentielle y’ = 3y + 4.

Les solutions de ce type d’équation s’écrivent sous la forme avec C une constante qui appartient à .

La solution qui vérifie par exemple la condition f(0) = –1 est telle que , soit , donc .

4. L'équation différentielle y' = ay + f

a. Solution de l'équation différentielle y' = ay + f

Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + f sont les fonctions de la forme suivante.

x → u(x) + v(x)

avec :

f une fonction définie sur un intervalle I
a un réel non nul
u(x) est une solution particulière de l’équation y’ = ay + b
v(x) une solution quelconque de l’équation y’ = ay : v(x) = Ce^ax

Remarque
En pratique, la solution particulière de l’équation y’ = ay + b sera donnée et permettra de déterminer toutes les solutions.

b. Exemple

On cherche les solutions de l’équation différentielle y’ = 2y + x² + 3.

On donne la solution particulière .

Étape 1 – Vérification de la solution particulière de l’équation différentielle.

On commence par montrer que la fonction u définie sur par est solution particulière de l’équation différentielle .

On a donc :

La fonction u définie sur par est donc bien une solution particulière de l’équation y’ = 2y + x² + 3.

Étape 2 – Autres solutions de l’équation différentielle.

Les solutions de l’équation y’ = 2y sont de la forme x → Ce^2x, avec .

On en déduit que les solutions de l’équation y’ = 2y + x² + 3 sont de la forme .

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