Résolution graphique d'un système d'équations du 1er degré à 2 inconnues
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Exemple :
Pour la location d’une voiture, il existe deux solutions :
• 1er loueur : 1,5 euro au kilomètre parcouru.
• 2e loueur : 80 euros de frais et 0,5 euro au kilomètre parcouru.
Cet énoncé peut s’écrire sous la forme d’un système d’équation :
• 1er loueur -> y = 1,5x
• 2e loueur -> y = 0,5x + 80
Le graphique ci-dessus représente les deux équations données dans le paragraphe 1.
• y = 1,5x (droite rouge)
• y = 0,5x + 80 (droite verte)
a) A l'aide du graphique, on peut résoudre l'équation : y = 1,5x.
Par exemple, pour x = 100, on lit que y = 150.
b) Avec l'équation y = 0,5x + 80, on voit que pour x = 100, y = 130.
On vérifie par le calcul :
y = 0,5 x 100 + 80 = 50 + 80 = 130
c) Cherchons le point d’intersection des deux droites.
Sur le graphique, on s'aperçoit que les deux droites se coupent en un point de coordonnées (80 ; 120).
Vérifions par le calcul.
Pour trouver le point d'intersection, il faut résoudre le système d'équations :
Si on utilise la méthode par substitution, en remplaçant dans la seconde équation y par 1,5x, on obtient :
1,5x = 0,5x + 80
1,5x - 0,5x = 80
x = 80
On peut ensuite calculer y :
y = 1,5 x 80
y = 120
On retrouve bien le couple de solutions (x = 80 ; y = 120) trouvé grâce au graphique.
a) si x < 80 alors 1,5x < 0,5x + 80
En effet, la droite rouge est inférieure à la droite verte.
On peut donc dire que sur l’intervalle [0 ; 80[ le 1er loueur est le moins cher.
b) si x = 80 alors 1,5x = 0,5x + 80
Il s’agit du point d’intersection des deux droites.
Pour x = 80, les 2 loueurs sont au même prix.
c) si x > 80 alors 1,5x > 0,5x + 80
En effet, la droite rouge est supérieure à la droite verte.
Sur l’intervalle ]80 ; +∞[ c'est donc le 2e loueur qui est le moins cher.
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