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Résolution d'une équation comportant un carré

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Objectif

Résoudre une équation du type

étant un nombre réel.

Points clés

Résoudre dans une équation, c’est déterminer par le calcul les éventuelles solutions réelles de l’équation.
On ne change pas une égalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.
On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul.
Soit . L’équation admet dans :
- deux solutions, et , si > 0 ;
- une seule solution qui vaut 0, si = 0 ;
- aucune solution, si < 0.

1. Résolution d'une équation

a. Rappel

Résoudre dans

une équation, c’est déterminer par le calcul les éventuelles solutions réelles de l’équation.

Remarques

Dire qu’une valeur vérifie une équation signifie qu’en remplaçant l’inconnue par cette valeur, l’égalité est vraie.
Dire qu’une valeur vérifie une inéquation signifie qu’en remplaçant l’inconnue par cette valeur, l’inégalité est vraie.

Exemple
3 est solution de l’équation

.
En effet,

b. Règles de calcul dans une équation

Une égalité est une expression composée de 2 membres séparés par un signe = .

Exemple

On ne change pas une égalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.

En écriture mathématique, soient a, b et c, trois nombres quelconques :
si a = b alors a + c = b + c et a – c = b – c.

Exemples
Si 4 = x alors 4 + 5 = x + 5 d'où 9 = x + 5
Si z = 14 alors z – 8 = 14 – 8 = 6

On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul.

En écriture mathématique, soient a, b des nombres quelconques et c un nombre non nul :
si a = b alors a × c = b × c et

Exemples
Si 4 =

alors 3 × 4 = 3

d’où 12 = 3

Si z = 28 alors

d’où

= 4

2. Résolution d'une équation comportant un carré

Soit

. L’équation

admet dans

deux solutions, et , si ;
une seule solution qui vaut 0, si ;
aucune solution, si .

Exemples sans règles de calcul

ou
n’admet pas de solution dans . En effet, le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.

Exemple en appliquant les règles de calcul
On veut résoudre dans

l’équation

. On utilise les règles de calcul pour obtenir une équation de la forme

– 7 = 11 – 7

. 4 > 0, donc l’équation admet deux solutions dans

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