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Représenter les nombres réels en binaire

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Objectif

Coder un nombre réel en binaire et comprendre que les calculs sont approchés.

Points clés

Un nombre flottant permet de représenter les réels sous la forme (–1)^signe × 1,mantisse × 2^±décalage.
Il existe différentes manières de coder un nombre réel, on privilégie la notion de nombre flottant. Il faut faire attention au fait qu’un réel sera toujours approché.

Pour bien comprendre

Base du codage binaire
Partie entière et décimale d’un nombre

1. Représenter un nombre réel

En informatique, le nombre de bits pour coder un nombre en binaire est limité. Un nombre réel est donc un nombre décimal pour l’ordinateur. Il faut coder une partie entière et une partie décimale.

Méthode – coder en binaire la partie décimale

On multiplie la partie décimale par 2, puis on stocke la partie entière.
On réapplique ce qui précède à la nouvelle partie entière et cela jusqu’à ce que la partie décimale soit nulle.

Exemple : codage de 10,375₁₀ en binaire
La partie entière 10₁₀ se code en binaire par 1010₂.
La partie décimale est 0,375₁₀.

On effectue 0,3752 × 2 = 0,750 : on conserve 0.
On effectue 0,750 × 2 = 1,50 : on conserve 1.
On effectue 0,502 = 1 : on conserve 1.
La partie décimale est nulle, donc on s’arrête.

On obtient ainsi 10,375₁₀ = 1010,011₂.

Cette méthode peut cependant ne pas s’arrêter, ce qui pose problème.

Exemple : codage de 0,110 en binaire
La partie entière est nulle et la partie décimale est 0,1₁₀.

On effectue 0,1 × 2 = 0,2 : on garde 0.
On effectue 0,2 × 2 = 0,4 : on garde 0.
On effectue 0,4 × 2 = 0,8 : on garde 0.
On effectue 0,8 × 2 = 1,6 : on garde 1.
On effectue 0,6 × 2 = 1,2 : on garde 1.
On effectue 0,2 × 2 = 0,4 : on garde 0.
On réobtient les mêmes nombres, on aura donc 00011 qui se répète à l’infini.

On a donc 0,1₁₀ = 0,0001100011…₂

L’ordinateur ne prendra qu’un petit nombre de bits, les nombres seront donc approchés.

2. Représentation des flottants (sur 32 bits)

L’ordinateur ne peut pas coder une virgule, il faut donc normaliser sa position.

Propriété
Un nombre réel en base 2 peut s’écrire sous la forme normalisée :

(–1)^signe × 1,mantisse × 2^±décalage.

Pour écrire un nombre sous cette forme normalisée, on décale la virgule de « décalage » vers la gauche (+) ou la droite (–) pour écrire le nombre avec un seul 1 avant la virgule. La partie décimale est la mantisse.

Exemple : 10111,011₂ = (–1)⁰ × 1,0111011 × 2⁴
Il faut en effet décaler la virgule de 4 crans vers la gauche pour obtenir 1,0111011₂.
La mantisse est 0111011₂.

Remarque : pour ne pas avoir à traiter les signes négatifs dans « décalage » , on lui ajoute 127.

La représentation en nombre flottant (ou virgule flottante) utilise la forme suivante.

avec :

le signe du nombre réel, qui vaut 0 (le nombre est positif) ou 1 (le nombre est négatif)
l’exposant (décalage+127) , qui est codé en binaire sur 8 bits
la mantisse (partie décimale du nombre), qui est codée sur 23 bits

La représentation d’un nombre flottant est de la forme suivante.

Signe (1 bit)

Exposant (8 bits)

Mantisse (23 bits)

Exemple : Écriture en nombre flottant du nombre décimal 10,375.

On donne la forme normalisée de ce nombre : 10,375₁₀ = 1010,011₂ = (–1)⁰ × 1,010011 × 2³.
Le nombre décimal est positif, le signe vaut donc 0.
On applique l’exposant « décalage + 127 » : 3 + 127 = 130 codé en binaire par 10000010.
La mantisse vaut 010011, qu’on complète par des 0 pour avoir 23 bits : on a donc 01001100000000000000000.
L’écriture en nombre flottant est donc 0 10000010 01001100000000000000000.

Remarque : tout ceci est codifié dans le cadre de la norme IEEE574.

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