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Repère et coordonnées d'un vecteur

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Objectifs :

Les repères peuvent nous aider dans l’étude des vecteurs. Dans cette fiche nous allons traiter des questions suivantes :
- Comment trouver les coordonnées d’un vecteur dans un repère ?
- Comment trouver les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d’un vecteur par un nombre réel ?

1. Coordonnées d'un vecteur dans un repère

a. Définition

Le plan étant muni d’un repère

, soit

un vecteur donné et M le point du plan tel que

. Si on note (x ; y) les coordonnées de M alors

. Donc

. Ainsi tout vecteur

du plan peut s’écrire sous la forme

Définition

Dire que le vecteur

a pour coordonnées x et y dans le repère

veut dire que

.
Pour indiquer les coordonnées du vecteur

on utilise la notation :

Exemple : Sur le graphique ci-dessous, lire les coordonnées des vecteurs

Réponse :

Propriétés

Soient

deux vecteurs d’un plan muni d’un repère
•

équivaut à x = x’ et y = y’
• Etant donnés deux point du plan A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) , le vecteur

a pour coordonnées

Exemple
Dans un plan muni d’un repère

on a les points E(3 ;4) F(-2 ;1) et G(-4 ;2). Calculer les coordonnées des vecteurs

.

Réponse :

d’où

b. Norme d'un vecteur

Propriété
Dans un plan muni d’un repère

orthonormal, si

Exemple : Dans le repère orthonormal

on peut alors calculer la norme de

et on a

2. Coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un nombre réel dans un repère

a. Coordonnées de la somme de deux vecteurs

Propriété

Dans un plan muni d'un repère, si

alors le vecteur

a pour coordonnées

Exemple : Dans un plan muni d'un repère, si

b. Coordonnées du produit d'un vecteur par un réel

Propriété

Dans un plan muni d'un repère, si

est un nombre réel alors le vecteur

a pour coordonnées

Exemple : Le plan étant muni d'un repère, soit

Calculer les coordonnées du vecteur

Réponse : Comme

D'où :

Soit

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