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Repérage et distances dans l'espace

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Objectifs

Déterminer les coordonnées d’un point dans un repère de l’espace.
Placer un point de coordonnées données dans un repère de l’espace.
Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormal de l’espace.

Points clés

Un repère de l’espace est défini par 4 points non coplanaires ou par un point (l’origine) et 3 vecteurs non coplanaires. Il peut être orthogonal si les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Il peut être orthonormal s’il est orthogonal et si les 3 vecteurs qui le définissent sont de même norme.
Un repère de l’espace est constitué de 3 axes : celui des abscisses, celui des ordonnées et celui des cotes.
Les coordonnées d’un point de l’espace sont constituées de 3 nombres : l’abscisse, l’ordonnée et la cote de ce point, lisibles sur les axes du même nom.
Lorsque l’on connait les 3 coordonnées d’un ou de plusieurs points, on peut les placer dans un repère de l’espace, on peut calculer les coordonnées du milieu du segment d’extrémités deux de ces points, ou on peut calculer la distance qui les sépare (si c’est un repère orthonormal).
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, si A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), alors .

Pour bien comprendre

Points coplanaires
Norme d’un vecteur
Repérage et placement d’un point dans le plan
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors .

Pour représenter un objet mathématique en deux dimensions (courbe, figure géométrique), on utilise un repère du plan. Un repère du plan possède deux axes, les abscisses et les ordonnées. En revanche, pour représenter un objet en trois dimensions (cube, pyramide), on utilise un repère dans l’espace. Celui-ci possède trois axes.

1. Repère en trois dimensions

On peut définir un repère de l’espace de deux façons différentes : par quatre points, ou par trois vecteurs.

Définition d’un repère par quatre points
Un repère de l’espace est défini par quatre points non coplanaires O, I, J et K :

le point O est l’origine du repère ;
la droite (OI) est appelée l’axe des abscisses ;
la droite (OJ) est appelée l’axe des ordonnées ;
la droite (OK) est appelée l’axe des cotes.

Définition d’un repère par trois vecteurs
On considère un point O de l’espace. Si on pose , et , le repère sera noté avec , et trois vecteurs non coplanaires. Dans ce cas :

est l’axe des abscisses ;
est l’axe des ordonnées ;
est l’axe des cotes.

Remarque
On dit que des points (ou des vecteurs) sont non coplanaires lorsqu’ils n’appartiennent pas au même plan.

Cas particuliers
Si les droites (OI), (OJ) et (OK) sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit orthogonal.
Si OIJ, OIK, OJKsont des triangles rectangles isocèles en O, alors le repère est dit orthonormal (ou orthonormé).

Exemple de repère orthonormal

avec

2. Coordonnées d'un point dans l'espace

Propriété
Dans un repère

, pour tout point M du plan, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de nombres réels tels que :

On dit que (x ; y ; z) est le triplet de coordonnées du point M dans le repère

et on note M(x ; y ; z).
On appelle x l’abscisse de M, y son ordonnée et z sa cote.

a. Comment lire les coordonnées d'un point

Méthode

Pour lire les coordonnées d’un point M dans un repère :

on commence par lire l’abscisse x du point M₁, intersection du plan parallèle à passant par M avec l’axe ;
puis, on lit l’abscisse y du point M₂, intersection du plan parallèle à passant par M et de l’axe ;
enfin, on lit l’abscisse z du point M₃, intersection du plan parallèle à passant par M et de l’axe .

b. Comment placer un point dont on connait les coordonnées

Exemple
On veut placer dans un repère

le point M(2 ; –1 ; 4).
Dans le repère

, on commence par placer le point H(2 ; –1).
Puis, on trace la droite (d) parallèle à l’axe des cotes passant par H.
Enfin, on trace la parallèle à (OH) passant par le point de cote 4 ; elle coupe (d) en M.

3. Milieu et longueur d'un segment

a. Milieu d'un segment

Propriété
Dans l’espace muni d’un repère

, étant donné deux points A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), le milieu du segment [AB] a pour coordonnées

Exemple
Dans un repère

, on considère les points E(3 ; 4 ; 1) et F(–1 ; 2 ; 5).
Calculer les coordonnées du point P milieu de [EF].
L’abscisse de P vaut

, l’ordonnée de P vaut

et la cote de P vaut

.
D’où P(1 ; 3 ; 3).

b. Longueur d'un segment

Propriété
Dans l’espace muni d’un repère

orthonormal, si A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B) sont deux points, alors la longueur AB, en unité de longueur (u.I.), est :

Exemple
Soient E(3 ; 4 ; 1) et F(–1 ; 2 ; 5) deux points d’un plan muni d’un repère orthonormal

avec

= 1 cm (on a 1 u.l. = 1 cm). Calculer la distance EF.

D’où EF = 6 cm.

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