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Réciproque du théorème de Thalès

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Objectif

Dans certaines configurations particulières dites de « Thalès », on peut démontrer que deux droites sont parallèles.
Comment démontrer, avec la réciproque du théorème de Thalès, que deux droites sont parallèles ?

1. Configurations de Thalès

On appelle configuration de Thalès une figure telle que :

ABC et AMN sont deux triangles ;
M ∈ (AB) ;
N ∈ (AC) ;
M et N sont du même côté de (BC).

Il y a trois cas :

2. Réciproque du théorème de Thalès

Si les triangles ABC et AMN sont en configuration de Thalès, et si

, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Exemple :
Sur la figure ci-contre, AM = 4,2 cm ; AC = 2,8 cm ; AB = 2,1 cm ; et AN = 5,6 cm.
A est le point d’intersection des droites (MB) et (NC).
Les points A, B et M d’une part et A, C et N d’autre part sont dans le même ordre.

D’une part,

et d’autre part,

.
on en déduit que :

.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Remarques :

La réciproque du théorème de Thalès sert donc à démontrer que 2 droites sont parallèles
Chaque hypothèse est importante. La figure ci-dessous correspond aux mêmes données que l’exemple précédent (on a toujours AC = 2,8 cm), mais les points ne sont plus dans le bon ordre, et visuellement, on peut remarquer que les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Seule l’égalité des deux premiers rapports est à calculer.

Cas particulier : Si M est milieu de [AB] et N est le milieu de [AC], alors on retrouve les théorèmes de la droite des milieux. Dans ce cas, on a :

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