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Quadrilatères: périmètres et aires

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Objectif

Afin de résoudre de nombreux problèmes de la vie courante, on calcule le périmètre d’une figure (longueur de la clôture d’un champ, contour d’un objet…) ainsi que son aire (calcul de la surface de moquette nécessaire pour couvrir un sol).
Comment calcule-t-on le périmètre et l’aire dans les cas particuliers d’un rectangle, d’un carré ou d’un losange ?

1. Périmètre du rectangle et du carré

Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.
Un périmètre s’exprime en m, cm, mm, km…

Cas du rectangle

Le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l est donné par :
P = L + l + l + L = 2 × L + 2 × l = 2 × (L + l).

Exemple

Le périmètre du rectangle est :
P = (5 + 8) × 2 = 13 × 2 = 26 cm.

Cas du carré

Le périmètre d’un carré de côté c est :
P = c + c + c + c = 4 × c.

Exemple

Le périmètre d’un carré de 2 m de côté est :
P = 4 × 2 = 8 m.

2. Aire d'un rectangle

L’aire d’une figure correspond à la mesure de sa surface.
Elle s’exprime en m², cm², mm², hm²…

Cas du rectangle

L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par la formule :
A = L × l.

Exemple

L’aire du rectangle est :
A = 5 × 8 = 40 cm².

Cas du carré

L’aire d’un carré de côté c est :
A = c × c.

Exemple
L’aire d’un carré de 6 m de côté est :
A = 6 × 6 = 36 m².

3. Aire et découpage

On peut calculer l’aire d’une figure en la découpant en figures dont on connait l’aire.

Exemple du losange
Le losange est composé de 4 triangles rectangles identiques.
L’aire totale du losange est donc égale à 4 fois l’aire de ces triangles rectangles.

Calculer l’aire du losange ABCD tel que AC = 6 cm et BD = 4 cm sachant que A₁ est l’aire du triangle ABO.

Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu O donc :
AO = AC ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm,
BO = BD ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 cm.
A₁ = (3 × 2) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm².
Donc l’aire du losange est :
A = 3 × 4 = 12 cm².

Exemple du parallélogramme
Le parallélogramme (voir figure ci-dessous) est composé de deux triangles rectangles superposables de 2 cm sur 3 cm et d’un rectangle de 4 cm sur 3 cm.

L’aire des deux triangles rectangles correspond à l’aire d’un rectangle de 3 cm sur 2 cm :
3 × 2 = 6 cm².
L’aire du rectangle central est :
A = 3 × 4 = 12 cm².

L’aire totale du parallélogramme est :
12 + 6 = 18 cm².

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