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Quadrilatères

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Pour pouvoir résoudre de nombreux problèmes de géométrie, il faut maitriser les propriétés des parallélogrammes et surtout les caractériser.

Quelles sont les définitions et propriétés des différents parallélogrammes ? Comment les caractériser ?

1. Les parallélogrammes

a. Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux.

Exemples :

Les côtés [CD] et [AB] sont parallèles
Les cotés [AC] et [BD] sont parallèles

Donc le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

b. Propriétés

Dans un parallélogramme :
a) Les diagonales se coupent en leur milieu
b) Les côtés opposés 2 à 2 ont la même longueur
c) Les mesures des angles opposés sont égales

Exemples :

	ABDC est un parallélogramme, les diagonales [AD] et [CB] se coupent en leur milieu E. Donc AE= ED et CE=EB.
	ABDC est un parallélogramme, donc CD=AB et AC=BD
	ABDC est un parallélogramme, donc et .

c. Caractérisation d'un parallélogramme

Un quadrilatère ayant un centre de symétrie est un parallélogramme.

E est un centre de symétrie.

ABDC est un parallélogramme.

Un quadrilatère ayant ses cotés opposés de la même longueur est un parallélogramme.

CD = AB et AC = BD

ABDC est un parallélogramme.

Un quadrilatère ayant 2 côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.

et AB = CD

ABDC est un parallélogramme.

Un quadrilatère ayant ses angles opposés de la même mesure est un parallélogramme.

ABDC est un parallélogramme

2. Le rectangle

a. Définition

Un rectangle est quadrilatère ayant ses quatre angles droits.

ABCD a ses 4 angles droits.

ABCD est un rectangle.

b. Propriétés

Si un quadrilatère est un rectangle alors c'est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.

c. Caractérisation du rectangle

Si un quadrilatère a 3 angles droits, alors c’est un rectangle.

Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.

Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors c’est un rectangle.

3. Le losange

a. Définition

Un losange est un quadrilatère ayant ses 4 côtés de la même longueur.

AD = DC = CB = BA.

Donc ABCD est un losange.

b. Propriétés

Si un quadrilatère est un losange alors c'est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

ABCD est un parallélogramme.

c. Caractérisation du losange

Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.

AD = AB

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

4. Le carré

a. Définition

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.

ABCD a 4 angles droits et 4 côtés de la même longueur.

b. Propriétés

Si un quadrilatère est un carré alors c'est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et ont la même longueur.

AC = DB

c. Caractérisation du carré

Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

On peut donc le caractériser à partir de ces 2 quadrilatères.

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