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Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3

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Objectif

Savoir utiliser la notation puissance d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Calculer la puissance n-ième d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3.

De nombreux problèmes se résolvent à l'aide des puissances de matrices, on devra être capable d'utiliser sa calculatrice pour déterminer les coefficients.

1. Puissance n-ième d'une matrice carrée

a. Définition

Soit A une matrice carrée d'ordre 2 ou 3. Pour tout entier naturel n non nul, on a :
Aⁿ⁺¹ = A × Aⁿ = Aⁿ × A et A¹ = A.

Remarque :

A et Aⁿ commutent.

Attention !
On n'obtient pas, dans la plupart des cas, les coefficients de Aⁿ en prenant la puissance n-ième des coefficients de A.

b. Exemples

Exemple 1 :

A =

. On a A² =

et A³ =

Exemple 2 :

A =

. On a A² =

et A³ =

2. Cas des matrices diagonales

a. Définition

Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de sa diagonale principale sont nuls.

Exemple :

est une matrice diagonale.

b. Puissance n-ième

Pour trouver la puissance n-ième d'une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale, tous les autres coefficients restant nuls.

Preuve :

Procédons par récurrence, dans le cas des matrices d'ordre 2.
Soit D une matrice diagonale, il existe deux réels a et b tels que D =

. Montrons que pour tout entier naturel n non nul, on a : Dⁿ =.
Initialisation : pour n = 1, D¹ =

.
Hérédité : supposons qu'au rang n on ait Dⁿ =

. On a alors Dⁿ⁺¹ = D × Dⁿ =

.
Conclusion : pour tout entier naturel n non nul, on a Dⁿ =

.

Exemple : A =

. On a pour tout entier naturel n non nul Aⁿ =

3. Cas des matrices triangulaires supérieure stricte

a. Définition

Une matrice est dite triangulaire supérieure stricte si tous ses éléments situés sous sa diagonale principale sont nuls ainsi que tous les éléments de sa diagonale principale.

Exemple :

est une matrice triangulaire supérieure stricte.

b. Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3

Si T est une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, alors pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a T³ =

Remarque : C'est la raison pour laquelle il est utile de les repérer !

L'essentiel

Pour A, matrice carrée d'ordre 2 ou 3, Aⁿ⁺¹ = A Aⁿ = Aⁿ A et A¹ = A.
Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Pour Tⁿ, T matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, les coefficients deviennent nuls lorsque n > 3.

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