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Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

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Objectifs

Suivant les positions relatives de trois droites, on peut en déduire le parallélisme ou la perpendicularité de deux d’entre elles.
Quelles propriétés nous permettent de conclure, dans une configuration précise, que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires ?

1. Propriétés avec deux droites parallèles

Propriété 1

Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

Illustration

On sait que (d) // (d')et que (d) // (d'') donc d’après la propriété 1, (d') // (d'').

Exemple
ABCD et CDEF sont deux losanges.
Montrer que (AB) // (EF).

Les côtés opposés d’un losange sont parallèles donc :
(AB) // (CD) et (CD) // (EF).
D’après la propriété 1, on peut en conclure que (AB) // (EF).

Propriété 2

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Illustration

On sait que (d) // (d') et que (d'')

(d) donc d’après la propriété 2, (d')

(d'').

Exemple
ABC est un triangle rectangle en B et I un point de [AC]. On trace la droite (d) parallèle à (AB) passant par I.
Montrer que (d) et (BC) sont perpendiculaires.

ABC est un triangle rectangle en B donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
(AB)

(BC) et (d) // (AB).
D’après la propriété 2, on peut conclure que (d)

(BC).

2. Propriété avec deux droites perpendiculaires

Propriété 3

Si deux droites sont perpendiculaires alors toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre .

Illustration

On sait que (d)

(d') et que (d'')

(d) donc d’après la propriété 3, (d') // (d'').

Exemple
ABC est un triangle rectangle en B et I un point de [AC]. On trace la droite (d) perpendiculaire à (BC) passant par I.
Montrer que (d) et (AB) sont parallèles.

ABC est un triangle rectangle en B donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
(AB)

(BC) et (d)

(BC).
D’après la propriété 3, on peut conclure que (d) // (AB).

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