Proportions et pourcentages- Première- Mathématiques
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- Calculer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire).
- Appliquer une proportion sous différentes formes (décimale, fractionnaire).
- Calculer la proportion d’une proportion.
- Calculer un pourcentage.
- Appliquer un pourcentage.
- Calculer un pourcentage de pourcentage.
- La proportion d’une sous-population S dans
une population E est le nombre
.
On note souvent p la proportion.
- Une proportion peut être exprimée en fraction ou en écriture décimale avec une précision donnée.
- Appliquer une proportion p à une quantité revient à multiplier cette quantité par p.
- Lorsque l’on connait une proportion, l’exprimer sur 100 est souvent plus pratique, notamment pour la comparer à une autre proportion. On dit qu’on l’exprime en pourcentage. Cela signifie que l’on calcule une proportion dans le « cas idéal » où l’effectif total de la population est ramené à 100.
- Le pourcentage d’une quantité est
donné par la formule :
.
- Appliquer un pourcentage x à une
quantité revient à multiplier cette
quantité par
.
- Si A représente
t1 % de B et
si B représente t2 %
de E, alors A représente
de E.
Produit en croix
. On note souvent p la proportion.
L'effectif correspond au nombre d'éléments d'une population.
On a toujours 0 ≤ p ≤ 1.
Dans une classe de seconde de 36 élèves, il y a 20 filles et 16 garçons. La proportion de garçons est de
, la proportion de filles est 
.
On relève dans un tableau les notes obtenues à un contrôle dans une classe. À partir des effectifs, on calcule la proportion de chacune des notes.
Pour cela, on commence par calculer l’effectif total : 4 + 3 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 = 31.
| Note sur 20 | 5 | 7 | 10 | 12 | 13 | 14 | 16 | |
| Effectif | 4 | 3 | 8 | 7 | 4 | 3 | 2 | Effectif total : 31 |
| Proportion p |
|
|
|
|
|
|
|
Une proportion peut être exprimée en fraction ou en écriture décimale avec une précision donnée.
Dans une classe de seconde de 36 élèves, il y a 20 filles et 16 garçons. La proportion de garçons est de
(arrondi au centième), la proportion de
filles est 
(arrondi au centième).
Appliquer une proportion p à une quantité revient à multiplier cette quantité par p.
Dans une classe de 36 élèves, les
mangent à la cantine. Calculer le
nombre d'élèves qui mangent à la
cantine.On doit calculer
. Il y a donc 24 élèves qui mangent
à la cantine.
Le calcul des proportions permet de comparer entre elles des populations dont les effectifs sont différents.
Les notes à un contrôle commun de mathématiques de deux classes sont les suivantes :
Classe 1 : 26 élèves
| Note | [0 ; 5[ | [5 ; 10[ | [10 ; 15[ | [15 ; 20] |
| Effectif | 5 | 8 | 8 | 5 |
| Note | [0 ; 5[ | [5 ; 10[ | [10 ; 15[ | [15 ; 20] |
| Effectif | 6 | 12 | 11 | 5 |
Dans la classe 2, 6 élèves ont entre 0 et 5.
Comme les effectifs des deux classes sont différents, c’est la comparaison des proportions des élèves qui ont entre 0 et 5 qui a le plus de sens.
Classe 1 :
Classe 2 :
Donc proportionnellement, c’est dans la classe 1 qu’il y a le plus d’élèves qui ont entre 0 et 5.
Lorsque l’on connait une proportion, l’exprimer sur 100 est souvent plus pratique, notamment pour la comparer à une autre proportion. On dit qu’on l’exprime en pourcentage. Cela signifie que l’on calcule une proportion dans le « cas idéal » où l’effectif total de la population est ramené à 100.
Pour transformer une proportion exprimée sous la forme d’une fraction en proportion exprimée sous la forme d’un pourcentage :
- transformer la fraction pour obtenir un
dénominateur égal à 100
(on peut, pour cela, utiliser un produit en
croix) ;
Effectif … ? Effectif total … 100 - exprimer la fraction de dénominateur 100 sous la forme d’un pourcentage (avec le symbole %).
On déduit du produit en croix :
.
Dans une famille de 5 enfants, 2 sont des garçons. Quel est le pourcentage de garçons parmi ces enfants ?
On construit un tableau :
| Effectif | 2 | ? |
| Effectif total | 5 | 100 |
Le nombre manquant est donc :
.Ainsi,
. Il y a donc 40 % de garçons
parmi ces enfants.
Appliquer un pourcentage x à une quantité revient à multiplier cette quantité par
.
Un objet dans un magasin coute 125 euros. La vendeuse décide d’appliquer une réduction de 12 %. Calculer le montant de la réduction.
On doit calculer
. On aura donc une réduction de
15 euros.
Soit un ensemble E contenant deux sous-ensembles A et B tels que A ⊂ B.
La proportion de A dans E est égale au produit de la proportion de A dans B par la proportion de B dans E.
En pratique
Si A représente t1 %
de B et si B représente t2 %
de E, alors A représente de E.
On peut écrire ce rapport sous la forme
%.
Dans un club de football, il y a 350 adhérents. Parmi ces adhérents, 20 % sont des benjamins et 40 % des benjamins sont des filles. Combien y a-t-il de benjamines dans ce club ?
La proportion de benjamines dans le club vaut
= 8 %.Dans le club de football, il y a donc 350
8 % = 28 benjamines.
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