Fiche de cours

Proportionnalité dans un triangle

Collège > 4eme > Mathématiques > Proportionnalité dans un triangle

Fiche de cours
Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs

Le théorème de la droite des milieux a l’inconvénient de ne calculer la distance qu’entre les milieux de deux côtés d’un triangle. On va généraliser ce résultat avec la propriété dite de « Thalès »
Comment calculer des longueurs dans une « configuration de Thalès » où les droites sont parallèles ? Qu’est ce qu’un agrandissement et une réduction ?

1. Triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes

a. Remarque préalable

Dans le triangle ABC, la droite (d) parallèle à (BC) coupe [AB] en M et [AC] en N. La droite (d) délimite alors un nouveau triangle AMN qui est une réduction de ABC.

b. Propriété

Si une droite est parallèle à un côté d'un triangle, alors les deux triangles formés ont des côtés proportionnels.

Longueurs du triangle ABC	AB	AC	BC
Longueurs du triangle AMN	AM	AN	MN

Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à la deuxième est donné par :

La propriété précédente est donc équivalente à la propriété suivante connue sous le nom de «propriété de Thalès» :

Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N est un point du côté [AC] et si (MN) est parallèle à (BC) alors :

Remarque : Si M et N sont les milieux de [AB] et [AC] on retrouve le théorème de la droite des milieux concernant les longueurs.

c. Exemple

Calculer la longueur AN d’après les données suivantes :

Sur la figure ci-dessus: AB = 8 cm ; AC = 4 cm ; le point M est placé sur [AB] tel que AM = 2 cm.
On sait que

; de plus, (MN) // (BC)

Citation : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N est un point du côté [AC] et si (MN) est parallèle à (BC) alors:

Conclusion :

. La partie intéressante pour calculer AN est :

.

Pour calculer AN, on effectue un produit en croix :

soit

Donc le segment [AN] mesure 1 cm.

2. Agrandissement et réduction

Soit F et F’ deux figures telles que :

Leurs angles sont égaux
Les longueurs de F et F’ sont proportionnelles. On passe des longueurs de F à celles de F’ en multipliant par un coefficient de proportionnalité k.
- Si k > 1, alors F’ est un agrandissement de F
- Si k < 1, alors F’ est une réduction de F .

Exemple : Les 2 triangles suivants ont des longueurs proportionnelles et des angles égaux.

On a le tableau de proportionnalité suivant :

Longueurs sur F	AB = 2 cm	AC = 1,5 cm	BC = 1,8 cm
Longueurs sur F'	A'B' = 8 cm	A'C' = 6 cm	B'C' = 7,2 cm

On passe des longueurs de la figure F aux longueurs de la figure F’ en multipliant par 4 (coefficient de proportionnalité supérieur à 1) donc F’ est un agrandissement de F .

On passe des longueurs de la figure F’ aux longueurs de la figure F en multipliant par

(coefficient de proportionnalité inférieur à 1) donc F est une réduction de F’.

Évalue ce cours !

Note 3 / 5. Nombre de vote(s) : 125

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Profs en ligne

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT