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Proportionnalité

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1. Recherche de proportionnalité entre deux grandeurs

a. Grandeurs proportionnelles

Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer la valeur de l’une en multipliant la valeur de l’autre par un nombre, toujours le même, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemples
— Grandeurs proportionnelles de la vie courante :
- la quantité de farine dans un gâteau et le nombre de personnes pour lequel le gâteau est prévu ;
- la distance sur une carte et la distance réelle.

— Grandeurs non proportionnelles de la vie courante :
- la taille et l’âge d’une personne :
- la note à un devoir de mathématiques et le temps passé par l’élève.

b. Tableau de proportionnalité

Un tableau de proportionnalité est un tableau dans lequel on peut passer d’une ligne à l’autre en multipliant ou en divisant par un nombre, qui est toujours le même au sein du tableau.

• Exemple d’application 1
On remplit une baignoire avec de l’eau au rythme suivant :

On passe de la première ligne à la deuxième ligne en multipliant toujours par 2,3, donc la quantité d’eau versée et le temps sont proportionnels.
2,3 est le coefficient de proportionnalité. Ce nombre correspond au débit de l’eau dans la baignoire.

Remarque : on passe de la seconde ligne à la première en divisant par 2,3.

• Exemple d’application 2

Le tableau suivant indique les tarifs de vente de CD par correspondance :

Les deux quotients ne sont pas égaux, donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

Il suffit de deux quotients différents pour affirmer que ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

2. Représentation graphique

On construit les graphiques représentant les tableaux précédents.

• Exemple d’application 1

Les points de la représentation graphique sont sur une droite qui passe par l’origine.

• Exemple d’application 2

Les points de la représentation graphique ne sont pas alignés.

Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors les points de la représentation graphique sont sur une droite passant par l’origine.
Si les points de la représentation graphique sont sur une droite passant par l’origine, alors les deux grandeurs sont proportionnelles.

3. Quatrième proportionnelle

a. Définition

La valeur du nombre manquant qui permet d’obtenir un tableau de proportionnalité s’appelle la quatrième proportionnelle.

b. Exemple d’application

Au marché, le prix des carottes est proportionnel au poids.
Compléter le tableau ci-dessous par différentes méthodes :

• Méthode 1 : en utilisant le coefficient de proportionnalité

On trouve le coefficient de proportionnalité : 1,50 ÷ 3 = 0,5 .
On calcule le prix pour 5 kg de carottes : 5 × 0,5 = 2,5 .
Le prix de 5 kg de carottes est donc 2,50 €.

• Méthode 2 : par addition ou soustraction de deux colonnes

On connait les prix de 3 kg et 5 kg de carottes. Comme 3+5=8, on additionne les prix de 3 kg et 5 kg de carottes : 1,50+2,50 = 4. Le prix de 8 kg de carottes est donc de 4 €.

• Méthode 3 : par multiplication ou division d’une colonne par un nombre non nul

On connaît le prix de 3 kg de carottes. Comme 3 × 3 = 9, on multiplie le prix des 3 kg de carottes par 3 : 1,50 × 3 = 4,50 .
Le prix de 9 kg de carottes est donc 4,50 €.

4. Résoudre un problème de proportionnalité

Dans tous les cas, il faut repérer les grandeurs du problème et s’assurer qu’il y a proportionnalité.

• Méthode 1
On note dans un tableau les grandeurs qui interviennent, et on le remplit en utilisant l’une des méthodes du paragraphe 3.

• Méthode 2
On revient à l’unité, puis on calcule en multipliant par le nombre d’unités.

Exemple
Dans le cas des carottes, on cherche le prix d’un kilogramme (une unité) de carottes : 1,50 ÷ 3 = 0,50 .
Le prix de 1 kg est 0,50 €. On peut alors calculer le prix des autres quantités.
Ainsi, pour 5 kg de carottes (5 unités) : 0,5 × 5 = 2,50 .
Le prix de 5 kg est 2,50 €.

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