Fiche de cours

Produit scalaire dans le plan

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Objectifs :

- Connaître les définitions du produit scalaire en fonction de la colinéarité des vecteurs
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur
- Savoir utiliser les propriétés associées

1. Définitions

Notation

Le produit scalaire des vecteurs

est noté

Vecteurs colinéaires

Si

sont colinéaires et de même sens, alors

sont colinéaires et de sens contraires, alors

Vecteurs non-colinéaires

Si

sont non-colinéaires et si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors

donc :

• Si

• Si

Exemple

Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). AH = 3.

Remarque : Si l'on utilise le cosinus de l'angle

, les définitions ci-dessus se traduisent par : "quels que soient A, B et C,

Formule générale

Le produit scalaire des vecteurs

est le nombre tel que :

• Si

• Si

Exemple

ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D

2. Vecteurs orthogonaux

Définition

Les vecteurs

sont dits "orthogonaux"...

• Si

• Ou si

ont des directions perpendiculaires

Théorème

sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

3. Carré scalaire - Norme d'un vecteur

Définitions

Le carré scalaire du vecteur

, noté

est le produit scalaire du vecteur

par lui-même,

.

La norme du vecteur

notée

est le nombre tel que :

Exemple

(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,

sont orthogonaux donc

Les normes des vecteurs sont :

4. Propriétés associées

Formules

Quels que soient les vecteurs

et le nombre a :

Exemple

Quels que soient O, A, B et C :

Conséquences

Quels que soient

Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.

Exemple

Si dans un repère orthonormal (où les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1), le vecteur

a pour coordonnées le couple (x; y) et le vecteur

, le couple (x'; y'), alors

Exemple 1

Si dans un repère orthonormal,

En effet, on a :

Exemple 2

Si dans un repère orthonormal,

alors ABC est un triangle rectangle et isocèle. En effet :

donc

sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en A.

Donc AB = AC =

et le triangle ABC est isocèle en A.

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