Produit scalaire dans le plan
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur
- Savoir utiliser les propriétés associées
Le produit scalaire des vecteurs est noté
Si sont colinéaires et de même sens, alors
Vecteurs non-colinéaires
Si sont non-colinéaires et si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors
donc :
• Si
• Si
Exemple
Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). AH = 3.
Remarque : Si l'on utilise le cosinus de l'angle , les définitions ci-dessus se traduisent par : "quels que soient A, B et C,
Le produit scalaire des vecteurs est le nombre tel que :
• Si
• Si
Exemple
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D
Les vecteurs sont dits "orthogonaux"...
• Si
• Ou si ont des directions perpendiculaires
sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
Le carré scalaire du vecteur , noté est le produit scalaire du vecteur par lui-même, .
La norme du vecteur notée est le nombre tel que :
Si
Exemple
(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,
sont orthogonaux donc
Les normes des vecteurs sont :
Quels que soient les vecteurs et le nombre a :
Exemple
Quels que soient O, A, B et C :
Quels que soient :
Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Exemple
Exemple 1
Si dans un repère orthonormal,
En effet, on a :
Exemple 2
Si dans un repère orthonormal, alors ABC est un triangle rectangle et isocèle. En effet :
donc sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en A.
Donc AB = AC = et le triangle ABC est isocèle en A.
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