Fiche de cours

Produit scalaire dans l'espace

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Quiz et exercices
Vidéos et podcasts

Objectifs :

- Connaître les définitions du produit scalaire dans l'espace
- Savoir les règles de calcul
- Comprendre l'expression analytique du produit scalaire

1. Définitions

Produit scalaire de vecteurs de l'espace

? Si

sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois points tels que :

alors il existe toujours un plan P contenant ces trois points.

? Le produit scalaire de

est égal au produit scalaire

dans le plan P.
Donc

? Si

Exemple

ABCDEFGH est un pavé tel que AD = 3, AB = 4 et AE = 6

Vecteurs orthogonaux

Comme dans le plan, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

.

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.

Norme d'un vecteur

Comme dans le plan, la norme du vecteur

défini par :

Repère orthonormal de l'espace

O est un point de l'espace.

est un repère orthonormal de l'espace si et seulement si les vecteurs de base

sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

2. Règles de calcul

Quels que soient les vecteurs

et quel que soit le réel

Exemple d'application

3. Expression analytique

Si dans un repère orthonormal,

Exemple

Soit dans un repère orthonormal A (2 ; 2 ; 1), B (2 ; -2 ; 1) et C (0 ; 0 ; 1). L'une des faces du tétraèdre OABC est un triangle rectangle isocèle, une autre est un triangle isocèle dont l'angle au sommet mesure au degré près, 84°.

En effet :

Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en C

Le triangle AOB est donc isocèle en 0

Pour déterminer la mesure de l'angle

, calculons de deux façons différentes le produit scalaire

Remarque

On peut aussi vérifier que

et que

et en déduire que les faces OBC et OAC sont des triangles rectangles en O.

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