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Prismes droits

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Objectifs

Les prismes droits sont des solides très présents parmi les objets de la vie courante : emballages divers, objets de décoration…
Quelles sont les caractéristiques du prisme droit ? Comment le représenter en perspective cavalière, construire son patron, calculer son aire latérale et son volume ?

1. Perspective cavalière

Afin de représenter des objets de l’espace dans le plan, il existe plusieurs techniques. La plus utilisée en géométrie est la perspective cavalière.

En perspective cavalière, les arêtes cachées en réalité sont représentées en pointillés et les droites parallèles en réalité sont représentées parallèles.

Exemples

Sur le schéma ci-dessus, les segments [BF], [FG] et [FE] sont cachés en réalité mais sont en pointillés dans cette représentation. Par conséquent, la face ADHE est « à l’avant » et la face BCGF est « à l’arrière ».

Sur le schéma ci-dessus, les segments [AD], [DC] et [DH] sont cachés en réalité mais sont en pointillés dans cette représentation. Par conséquent, la face BCGF est « à l’avant » et la face ADHE est « à l’arrière ».
Dans chacun de ces cas, les droites parallèles sur le schéma le sont dans la réalité.

Remarque
Les segments qui vont de l’avant vers l’arrière sont représentés en perspective cavalière plus court que dans la réalité. C’est le cas par exemple des segments [DC] et [EF].
Les angles droits des faces ABCD, EFGH, CDHG et ABFE sont déformés.

2. Prisme droit

Un prisme droit est un solide. Il est composé :
• de deux bases identiques qui sont des polygones ;

• et de faces rectangulaires qui relient les deux bases ; ce sont les faces latérales.

Remarques
• Dans un prisme droit, il y a autant de faces latérales que de côtés qui forment la base du prisme.
• Les arêtes latérales d'un prisme droit sont parallèles et de même longueur.
• Le parallélépipède rectangle (voir les schémas du premier paragraphe) est un prisme particulier dont la base est un rectangle.

3. Patron du prisme droit

Exemple
Tracer le patron du prisme droit ci-dessous.

Pour cela, on met « à plat » chacune des faces du prisme. On obtient par exemple :

Afin de reconstituer le prisme droit, on colle les segments ayant le même codage.

4. Aire latérale

On appelle hauteur du prisme la longueur de ses arêtes latérales.

L’aire latérale d’un prisme est égale à la somme des aires de chacune des faces latérales.

Les rectangles ont la même longueur ; elle correspond à la hauteur du prisme. On a donc :

Aire latérale d’un prisme = périmètre de la base × hauteur du prisme.

Exemple
Sur le schéma suivant, les bases sont des triangles et la hauteur du prisme est CF = 7 cm.
Calculer l’aire latérale en retrouvant la formule ci-dessus.

Aire latérale = Aire (ACFE) + Aire (CFDB) + Aire (ABDE)
Aire latérale = 3 × 7 + 4 × 7 + 5 × 7
Aire latérale = (3 + 4 + 5) × 7
Aire latérale = périmètre de ACB × hauteur.

Le périmètre de la base est :
P = 3 + 4 + 5 = 12 cm. Donc l’aire latérale de ce prisme est :
Aire latérale = 12 × 7 = 84 cm².

5. Volume

Le volume d’un prisme droit est donné par :
V = A × h.

A est l’aire de la base et h la hauteur du prisme.

Exemple
Calculer le volume du prisme droit ci-dessous sachant que ABC est un triangle rectangle en C.

La base étant un triangle rectangle, on a :
Aire de la base = (3 × 4) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm².
Donc le volume de ce prisme droit est :
V = 6 × 7 = 42 cm³.

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