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Polynômes du second degré

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Objectif

Les fonctions polynômes du second degré sont des fonctions dont les représentations graphiques ont des propriétés de symétrie. D'autres part, les variations et les extremums de telles fonctions sont très facilement descriptibles.

1. Différentes formes

Soit a un nombre réel non nul, b et c deux nombres réels quelconques.
On appelle fonction polynôme du second degré la fonction f définie sur

par :

.

Cette forme est appelée la forme développée de

Exemples de polynômes du second degré :

Attention : Parfois, certaines expressions n’ont pas d’emblée la forme

, pourtant ce sont bien des polynômes du second degré.

Remarque : est une fonction affine, aussi appelée fonction polynôme du premier degré.
est une fonction polynôme du troisième degré.

Par exemple,

peut aussi s’écrire

Un polynôme du second degré comme

peut s'écrire sous 3 formes différentes :

est sa forme canonique ;

est sa forme développée ;

est sa forme factorisée.

La forme canonique générale d'une fonction polynôme est :

Exemple :

est écrite sous forme canonique

est également sous forme canonique

La forme développée sert à vérifier qu’il s’agit bien d’un polynôme du second degré.
La forme factorisée sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.

La forme canonique sert à étudier les variations ou trouver un extremum (minimum ou maximum).

2. Une famille de fonctions

Exemple 1 :
Six représentations graphiques sont proposées, définies par les fonctions suivantes :

(a) La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

(b) On remarque que différentes valeurs de β déplacent la courbe parallèlement à l’axe des ordonnées et que différentes valeurs de α la déplacent parallèlement à l’axe des abscisses.

;

. Elle admet la droite d’équation

pour axe de symétrie.

Si alors .

(d) Le tableau de variation de f est :

Cas a > 0
Cas a < 0

Exemple 2 :
On considère la fonction

définie sur

.

1. Vérifier que

.
Il suffit de développer la deuxième expression :

2. Factoriser

.
On part de la forme canonique et on reconnait l'identité remarquable

3. Résoudre

.
On utilise la forme factorisée pour faire un tableau de signes :

4. Dresser le tableau de variation de E.
On utilise la forme canonique :

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