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Polynômes de degré 2 : définition et propriétés

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1. Définition d'un polynôme du second degré

a. Définition

Un polynôme ou trinôme du second degré est une fonction f pouvant s’écrire

pour tout réel x, où a, b et c sont des constantes réelles avec a non nulle.

On appelle aussi trinôme du second degré l'expression seule :

b. Exemples

► La fonction

est un trinôme du second degré car pour tout x elle s’écrit sous la forme

avec a = 2, b = -3 et c = 1.

► De même, la fonction

est aussi un trinôme du second degré avec ici

, b = 0 et c = 1.

► En revanche, la fonction

n’est pas un trinôme du second degré car il n’existe pas de terme en

, ce qui correspondrait à a = 0.

2. Forme canonique du trinôme du second degré

a. Mise sous forme canonique

Pour tout x réel,

.
Cette forme est appelée forme canonique du trinôme du second degré.

Preuve :

donc on peut le mettre en facteur

.

On considère que

est le début de l’identité remarquable

avec A = x et

.

Ainsi, en réduisant au même dénominateur 4a² puis en développant a.

Remarque
Bien sûr, il n’est pas nécessaire de retenir cette formule par cœur, le plus important est de comprendre la technique employée.

b. Exemple

On reconnaît les 4 étapes :

• je mets

en facteur ;
• je considère

comme le début de

soit

;
• je réduis sur le même dénominateur

;
• je développe 3.

3. Conséquence graphique

a. Théorème

Dans un repère orthogonal, la courbe d’équation

avec

est une parabole de sommet le point

d’abscisse

Elle est tournée vers le haut (forme en « U ») lorsque a > 0 et tournée vers le bas (forme en « pont ») lorsque a < 0.

Preuve :
On a vu en seconde que toute fonction trinôme du second degré admet une forme canonique s’écrivant

et, connaissant cette forme, la courbe d’une fonction trinôme est une parabole de sommet le point

de coordonnées

.
Or la forme canonique précédente permet d’écrire

.
En s’appuyant sur cette forme, on en déduit que la courbe d’une fonction trinôme est une parabole de sommet le point de coordonnées

.

Il est important de retenir l’abscisse du sommet. Par contre son ordonnée s’obtient facilement en remplaçant x par

dans

b. Exemples

• La parabole d’équation

a pour sommet le point

d’abscisse

.
Son ordonnée vaut

. Ainsi

.
Elle est tournée vers le haut car

.

• La parabole d’équation

a pour sommet le point

d’abscisse

.
Son ordonnée vaut

. Ainsi

.

Elle est tournée vers le bas car

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