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Parallélisme et positions relatives de droites et de plans

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Objectif

En géométrie dans l'espace de nombreuses propriétés du plan se prolongent. Cependant, il reste quelques situations particulières à l'espace notamment dans les positions relatives de plans et de droites entre eux.

Comment déterminer un plan dans l'espace ? Quelles sont les positions relatives de droites et de plans entre eux ? Quelles sont les propriétés de parallélisme dans l'espace entre les droites et les plans ?

1. Plans et droites de l'espace

Un plan est déterminé par :

- 3 points A, B et C non alignés (le plan est noté (ABC)) ;

- Une droite (d) et un point A extérieur à (d) ;

- 2 droites sécantes (d) et (d') :

Des points ou des droites sont coplanaires lorsqu'ils sont contenus dans un même plan.

2. Le parallélisme dans l'espace

a. Positions relatives

* Positions relatives de deux plans

Deux plans distincts sont :
- soit strictement parallèles si leur intersection est vide,

- soit sécants et leur intersection est une droite.

* Positions relatives de deux droites

Deux droites distinctes sont :
- soit strictement parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et que leur intersection est vide,

- soit sécantes lorsqu'elles sont coplanaires et que leur intersection est un point,

- soit non coplanaires.

* Positions relatives d'une droite et d'un plan

Soit une droite et un plan. La droite est :
- soit contenue dans ce plan,

- soit strictement parallèle à ce plan, lorsque leur intersection est vide,

- soit sécante à ce plan, lorsqu'elle le coupe en un point (unique).

b. Propriétés du parallélisme dans l'espace

* Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles sont coplanaires et non sécantes (c'est-à-dire confondues ou n'ayant aucun point commun).

Attention : Dans l'espace, 2 droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles !

Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles : si

alors (d) (d " ).

Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.

* Plans parallèles

Deux plans sont parallèles lorsque deux droites sécantes de l'un des plans sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l'autre plan.

Si deux plans sont parallèles à un même troisième alors ils sont parallèles entre eux.

Si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

* Règles et propriétés

Pour qu'une droite (d) soit parallèle à un plan (P), il suffit qu'elle soit parallèle à une droite (d') de (P).

Si deux plans sont sécants, toute droite parallèle aux deux plans, est parallèle à leur intersection.

Pour que deux plans soient parallèles, il suffit que deux droites sécantes de l'un des plans soient parallèles à l'autre.

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