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Parallélépipède rectangle

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Objectifs

Le parallélépipède rectangle est un solide très présent parmi les objets de la vie courante. Les boîtes de chaussures, les briques, les livres, les pièces d’une maison sont souvent des parallélépipèdes rectangles.
Quelles sont les caractéristiques du parallélépipède rectangle ? Comment le représenter en perspective cavalière et construire son patron ?

1. Perspective cavalière

Afin de représenter des objets de l’espace dans le plan, il existe plusieurs techniques. La plus utilisée en géométrie est la perspective cavalière.

En perspective cavalière, les arêtes cachées en réalité sont représentées en pointillés et les droites parallèles en réalité sont représentées parallèles.

Exemples

Sur le schéma ci-dessus, les segments [BF], [FG] et [FE] sont cachés en réalité mais sont en pointillés dans cette représentation. Par conséquent, la face ADHE est « à l’avant » et la face BCGF est « à l’arrière ».

Sur le schéma ci-dessus, les segments [AD], [DC] et [DH] sont cachés en réalité mais sont en pointillés dans cette représentation. Par conséquent, la face BCGF est « à l’avant » et la face ADHE est « à l’arrière ».
Dans chacun de ces cas, les droites parallèles sur le schéma le sont dans la réalité.

Remarque
Les segments qui vont de l’avant vers l’arrière sont représentés en perspective cavalière plus court que dans la réalité. C’est le cas par exemple des segments [DC] et [EF].
Les angles droits des faces ABCD, EFGH, CDHG et ABFE sont déformés.

2. Parallélépipède rectangle

a. Définition

Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un solide possédant 6 faces rectangulaires.

En perspective cavalière, le parallélépipède rectangle est représenté comme sur la figure suivante :

Un pavé droit, possède 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.
Un pavé droit est noté par ses sommets. Le pavé droit de la figure précédente est noté ABCDEFGH.

Propriétés

• Les faces opposées d’un pavé droit sont des rectangles de même dimension.
• Les faces consécutives d’un pavé droit sont perpendiculaires.

Cas particulier : le cube

Un cube est un parallélépipède rectangle dont chaque face est un carré.

b. Patron du parallélépipède rectangle

Afin de construire un parallélépipède rectangle, on réalise dans le plan son patron. Pour cela on dessine « à plat » chaque face.

Remarque
Pour un même parallélépipède rectangle, il existe plusieurs patrons.

Exemple
Construire le patron du parallélépipède rectangle suivant :

Deux exemples de patrons pour la construction de ce pavé droit :

En repliant chacune des arêtes, on obtient alors le parallélépipède rectangle précédent.

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